【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手推导相等的角：首先由AD⊥BC、CE⊥AB，可得∠AEH=∠CEB=90°；再根据同角的余角相等推导角相等：∠EAH+∠B=90°，∠ECB+∠B=90°，因此∠EAH=∠ECB。此时△AEH和△CEB已经满足两组角对应相等，结合全等三角形的判定定理（ASA或AAS），只需再添加一组对应边相等即可证明全等，比如添加夹边AE=CE就可通过ASA判定全等，也可添加AH=CB、EH=EB等合理条件。
【解析】
已知AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
∴∠AEH=∠CEB=∠ADB=90°，
∴∠EAH + ∠B = 90°，∠ECB + ∠B = 90°，
∴∠EAH = ∠ECB（同角的余角相等）。
若添加条件$AE=CE$，
在$△ AEH$和$△ CEB$中：
$\{\begin{array}{l}∠AEH=∠CEB\\AE=CE\\∠EAH=∠ECB\end{array} $
∴$△ AEH≌△ CEB$（ASA）。
注：也可添加$AH=CB$、$EH=EB$等条件，均可证明两个三角形全等，答案不唯一。
【答案】
AE=CE（答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的判定、同角的余角相等、垂直的定义
【点评】
本题属于开放性试题，需要先根据已知条件推导已成立的全等判定要素，再结合三角形全等的判定定理补充缺少的条件，可有效考查对全等判定定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）证明三角形全等需要先找对应相等的边和角：由D是BC中点可得BD=CD；再根据BE//AC，利用平行线的内错角相等的性质，能得到∠EBD=∠C、∠E=∠CAD，三组条件符合AAS全等判定的要求，即可完成△BDE≌△CDA的证明。
（2）要证BA=BE，可通过等量代换推导：首先AD⊥BC可得∠ADB=∠ADC=90°，结合BD=CD、AD是公共边，可通过SAS判定△ADB≌△ADC，得到BA=CA；再结合第（1）问的全等结论可得BE=CA，等量代换后即可推出BA=BE。
【解析】
(1)
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD。
∵BE//AC，
∴∠EBD=∠C，∠E=∠CAD。
在△BDE和△CDA中：
$\{\begin{array}{l}∠ EBD=∠ C\\ ∠ E=∠ CAD\\ BD=CD\end{array} $
∴△BDE≌△CDA（AAS）。
(2)
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在△ADB和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ ∠ ADB=∠ ADC\\ AD=AD\end{array} $
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴BA=CA。
由(1)可知△BDE≌△CDA，
∴BE=CA，
∴BA=BE。
【答案】
(1) 已证△BDE≌△CDA；
(2) 已证BA=BE。
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题时要注意挖掘题干中的隐含条件，比如平行线带来的等角、中点带来的等边、公共边等，同时要学会利用前一问的结论推导后一问，简化推导过程。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先明确题目给出的已知条件：$AB=CD$，$AF=CE$，要使$△ ABF≌△ CDE$，可结合全等三角形的判定定理选择合适的添加条件：若选①$BF=DE$，可通过SSS判定全等；若选②$∠ BAF=∠ DCE$，可通过SAS判定全等，此处以选择①为例。要证明$AE// CF$，需先证内错角相等，可先由$△ ABF≌△ CDE$得到$∠ B=∠ D$，再结合$BF=DE$推出$BE=DF$，进而证明$△ ABE≌△ CDF$，得到对应角相等后即可推出两直线平行。
【解析】
选择添加条件①$BF=DE$（答案不唯一），证明如下：
在$△ ABF$和$△ CDE$中，
$\begin{cases} AB=CD(\mathrm{已知}) \\ AF=CE(\mathrm{已知}) \\ BF=DE(\mathrm{添加条件}) \end{cases}$
$\therefore△ ABF≌△ CDE(\mathrm{SSS})$
$\therefore∠ B=∠ D$，
$\because BF=DE$，$\therefore BF+EF=DE+EF$，即$BE=DF$，
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases} AB=CD(\mathrm{已知}) \\ ∠ B=∠ D(\mathrm{已证}) \\ BE=DF(\mathrm{已证}) \end{cases}$
$\therefore△ ABE≌△ CDF(\mathrm{SAS})$
$\therefore∠ AEB=∠ CFD$，
$\therefore∠ AEF=∠ CFE$（等角的补角相等），
$\therefore AE// CF$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
①（答案不唯一，②也可）
【知识点】
三角形全等的判定，全等三角形的性质，平行线的判定
【点评】
本题是开放性全等证明题，既考查了全等三角形判定条件的灵活选择，又考查了利用全等三角形的性质转化角的关系证明直线平行，是全等三角形综合应用的典型题型，注重对逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1)要证明FD=FG，观察两条线段所在的三角形，已知CE是∠BCA的角平分线，可得∠FCD=∠FCG，结合题中给出的CD=CG，还有公共边CF，可通过SAS证明△CFD≌△CFG，利用全等三角形对应边相等即可得证。
(2)要探究FG与FE的数量关系，先结合∠B=60°和三角形内角和定理，算出∠BAC+∠BCA的度数，再利用角平分线的性质求出∠ACF+∠FAC的度数，进而得到∠AFC、∠AFE、∠CFD的度数；结合(1)中全等的结论得到∠CFG=∠CFD，推出∠AFG=∠AFE，再结合AD是角平分线、公共边AF，通过ASA证明△AFG≌△AFE，即可得到FG和FE的数量关系。
(3)判断结论是否成立时，(1)的证明过程未用到∠B=60°的条件，所以依然成立；(2)的推导需要∠AFG=∠AFE，该结论只有∠B=60°时成立，故∠B≠60°时(2)的结论不成立。
【解析】
(1)证明：
∵CE平分∠BCA，
∴∠FCD=∠FCG。
在△CFD和△CFG中，
$\{\begin{array}{l} CD=CG\\ ∠ FCD=∠ FCG\\ CF=CF\end{array} $
∴△CFD≌△CFG(SAS)，
∴FD=FG。
(2)FG=FE，理由如下：
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°。
∵AD平分∠BAC，CE平分∠BCA，
∴∠FAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠ACF=$\frac{1}{2}$∠BCA，
∴∠ACF+∠FAC=$\frac{1}{2}$(∠BCA+∠BAC)=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴∠AFC=180°-(∠ACF+∠FAC)=120°，
∴∠CFD=∠AFE=180°-∠AFC=60°。
由(1)知△CFD≌△CFG，
∴∠CFD=∠CFG=60°，
∴∠AFG=∠AFC-∠CFG=120°-60°=60°，即∠AFG=∠AFE=60°。
在△AFG和△AFE中，
$\{\begin{array}{l} ∠ AFG=∠ AFE\\ AF=AF\\ ∠ FAG=∠ FAE\end{array} $
∴△AFG≌△AFE(ASA)，
∴FG=FE。
(3)解：(1)中结论成立；(2)中结论不成立。
【答案】
(1)FD=FG得证；
(2)FG=FE；
(3)(1)中结论成立，(2)中结论不成立。
【知识点】
三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形全等的综合应用题，解题的关键是结合角平分线的性质找到全等三角形的判定条件，在探究结论是否恒成立时，要注意特殊角度对角度推导的影响，有助于提升几何直观和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6