1. 角平分线的性质定理:角平分线上的点到______相等.
答案：角两边的距离
解析：
【分析】
这道题考查角平分线性质定理的基础识记，解题时只需回忆课本中角平分线性质定理的具体表述即可，属于概念类基础题，不需要复杂推导，准确记忆定理内容就能得到正确答案。
【解析】
根据角平分线的性质定理的标准表述：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以横线处应填写角两边的距离。
【答案】
角两边的距离
【知识点】
角平分线的性质定理
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对教材核心定理的记忆掌握，这类基础概念是后续运用角平分线性质解决几何证明、计算类问题的基础，学习时要重视核心概念的准确识记。
【难度系数】
0.9
2. 角平分线性质定理的逆定理:角的内部到______的点在角的平分线上.
答案：角两边距离相等
解析：
【分析】
解题时先回忆角平分线的性质定理，再根据逆定理的构造规则（原定理的条件和结论互换）推导内容。首先角平分线性质定理是“角平分线上的点到角两边的距离相等”，逆定理就是把原定理的结论当条件、条件当结论，同时限定在角的内部范围，就能得出空缺处需要填写的内容。
【解析】
首先回顾角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。逆定理是将原定理的条件和结论互换，同时限定适用范围为角的内部（排除角外部到两边距离相等但不属于该角平分线的点），因此角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，空缺处填“角两边距离相等”。
【答案】
角两边距离相等
【知识点】
角平分线逆定理；角平分线性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对核心定理的识记，熟练掌握角平分线相关的性质与逆定理即可准确答题，答题时注意表述完整，不要遗漏“角两边”“距离相等”的关键要素。
【难度系数】
0.9
1. (2024·常州中考)如图,在纸上画有∠AOB,将两把直尺按图示摆放,直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上,则( )
$A. d_1$与$d_2$一定相等
$B. d_1$与$d_2$一定不相等
$C. l_1$与$l_2$一定相等
$D. l_1$与$l_2$一定不相等
答案：A
解析：
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。第一步先明确点P在∠AOB的平分线上，因此P到OA、OB的距离相等；第二步判断各选项中的量的几何意义：d1是水平直尺的宽度，也就是点P到OB的垂线段长度（即P到OB的距离），d2是倾斜直尺的宽度，也就是点P到OA的垂线段长度（即P到OA的距离），因此可得d1=d2。而l1、l2是沿直尺的斜线段长度，不是点到直线的距离，没有必然的相等或不等关系，据此即可选出正确答案。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知点P在∠AOB的平分线上，因此点P到OA的距离与点P到OB的距离相等。
由图可知：水平直尺的宽度$d_1$就是点P到OB的距离，倾斜直尺的宽度$d_2$就是点P到OA的距离，因此$d_1=d_2$，故A正确，B错误。
$l_1$、$l_2$不是点到角两边的垂线段，其长度与直尺的摆放位置有关，可能相等也可能不等，因此C、D均错误。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的核心是准确识别d1、d2对应角平分线上的点到角两边的垂线段距离，易错点是混淆垂线段距离和普通斜线段的长度概念。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D.若BD= 4.9,BC= 9,则点D到AB边的距离是( )
A.4.1
B.5.1
C.3.1
D.4.9
答案：A
解析：
【分析】
首先根据题目给出的尺规作图步骤，可判断出AD是∠BAC的角平分线；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点D到AB的距离等于点D到AC的距离。已知∠C=90°，因此点D到AC的距离就是线段DC的长度，只需要计算DC的长度即可得到答案，DC可通过BC与BD的长度差求出。
【解析】
1. 由尺规作图的操作步骤可知，AD是∠BAC的角平分线。
2. 因为∠C=90°，所以DC⊥AC，即点D到AC的距离为DC的长度。
3. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点D到AB边的距离=DC的长度。
4. 计算DC的长度：$DC = BC - BD = 9 - 4.9 = 4.1$，因此点D到AB边的距离是4.1。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的尺规作图，角平分线的性质
【点评】
本题侧重考查基础知识点的应用，解题核心是准确识别角平分线的尺规作图，再利用角平分线的性质将未知距离转化为可直接计算的线段长度，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
3. 如图,∠AOB= 70°,QC⊥OA于C,QD⊥OB于D,若QC= QD,则∠AOQ= ______.
答案：35°
解析：
【分析】
解题时先梳理已知条件：QC垂直OA、QD垂直OB，说明QC、QD分别是点Q到∠AOB两边的距离，又已知QC=QD，可联想到角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，由此推出OQ是∠AOB的角平分线，再根据角平分线的定义就能求出∠AOQ的度数。
【解析】
∵ QC⊥OA，QD⊥OB，且QC=QD
∴ 点Q在∠AOB的角平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上），即OQ平分∠AOB
∴ ∠AOQ = $\frac{1}{2}$∠AOB
∵ ∠AOB=70°
∴ ∠AOQ = $\frac{1}{2}×70°=35°$
【答案】
35°
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查角平分线判定定理的应用，熟练掌握角平分线的判定和定义是解题的关键，这类题型直接对应基础知识点，掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC= 7,DE= 2,AB= 4,则AC的长是______.
答案：3
解析：
【分析】
解题时首先利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点D到AC边的距离等于DE的长度。再根据△ABC的面积等于△ABD与△ACD的面积和，先求出△ABD的面积，进而得到△ACD的面积，最后结合三角形面积公式即可求出AC的长。
【解析】
过点D作DF⊥AC，垂足为F。
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC
∴根据角平分线的性质，DF=DE=2
计算△ABD的面积：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE=\frac{1}{2}×4×2=4$
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=7$
∴$S_{△ ACD}=7-4=3$
又
∵$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× DF$
代入$S_{△ ACD}=3$，$DF=2$得：
$\frac{1}{2}× AC×2=3$
解得$AC=3$
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查角平分线性质的应用，解题的关键是通过角平分线的性质得到AC边上的高，再利用面积的和差关系建立等式求解，熟练掌握相关性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE= CF.求证:AD是△ABC的角平分线.
答案：
∵ D 是 BC 的中点，
∴ BD=CD.
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠BED=∠CFD=90°.在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，{BD=CD,BE=CF,}
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴ DE=DF.又
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ AD 是△ABC 的角平分线.
解析：
【分析】
要证明AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此只需证明点D到AB、AC的距离DE=DF即可。已知D是BC中点可得BD=CD，结合DE⊥AB、DF⊥AC可知△BDE和△CDF均为直角三角形，再结合已知BE=CF，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，从而推出DE=DF，最终完成证明。
【解析】
∵ D 是 BC 的中点，
∴ BD=CD。
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠BED=∠CFD=90°。
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中：
$\begin{cases} BD=CD \\ BE=CF \end{cases}$
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴ DE=DF。
又
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ AD 是△ABC的角平分线。
【答案】
AD是△ABC的角平分线
【知识点】
直角三角形全等判定，角平分线的判定
【点评】
本题属于基础证明题，解题的核心是明确角平分线的判定条件，通过证明直角三角形全等得到对应边相等，进而推导出结论，很好地考查了全等三角形与角平分线知识的结合运用。
【难度系数】
0.7
6. 如图,若AB//CD,AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD,PE⊥AC于E,PE= 6,则AB与CD之间的距离为( )
A.6
B.8
C.10
D.12
答案：D
解析：
【分析】
要求AB与CD之间的距离，首先明确平行线间的距离是夹在两条平行线之间的垂线段长度，因此我们可以过点P作AB、CD的垂线，得到这条垂线段；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，分别求出垂线段两部分的长度，相加即可得到最终的距离。
【解析】
过点P作PF⊥AB于点F，PG⊥CD于点G。
∵AB//CD，
∴点F、P、G在同一条直线上，线段FG的长度就是AB与CD之间的距离。
∵AP平分∠BAC，PE⊥AC，PF⊥AB，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴PF=PE=6。
同理，CP平分∠ACD，PE⊥AC，PG⊥CD，
∴PG=PE=6。
∴AB与CD之间的距离FG=PF+PG=6+6=12。
【答案】
D
【知识点】
1.角平分线的性质；2.平行线间的距离
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题关键是通过作辅助线构造出符合角平分线性质的垂线段，结合平行线间距离的定义即可快速求解，是对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
