【分析】
首先根据尺规作图的特征判断出AP是∠BAC的角平分线，结合角平分线的性质可得CF=FG；再通过HL证明Rt△ACF≌Rt△AGF，得到AC=AG，结合已知AC=BC的条件，将△BFG的周长的各边进行等量代换，最终转化为AB的长度即可求解。
【解析】
由尺规作图的步骤可知，AF是∠BAC的角平分线。
∵∠C=90°，
∴FC⊥AC，
又
∵FG⊥AB，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴FC=FG。
在Rt△ACF和Rt△AGF中：
$\{\begin{array}{l}AF=AF\\ FC=FG\end{array} $
∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），
∴AC=AG。
又
∵AC=BC，
∴AG=BC。
△BFG的周长为：$C_{△ BFG}=FG+BF+BG$，
将FG替换为CF，得：$C_{△ BFG}=CF+BF+BG=BC+BG$，
再将BC替换为AG，得：$C_{△ BFG}=AG+BG=AB$，
已知AB=8cm，故$C_{△ BFG}=8\mathrm{cm}$。
【答案】
8
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；尺规作角平分线
【点评】
本题将角平分线的尺规作图、性质与三角形周长计算结合考查，解题的核心是利用角平分线的性质和全等三角形的结论对周长的边进行等量代换，将未知周长转化为已知线段长度，是几何中典型的转化思想应用题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
遇到角平分线和垂直的条件，首先想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，因此O到△ABC三边的距离都等于OD的长度。要求△ABC的面积，可采用割补法，将其拆分为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形的面积之和，三个小三角形的高都等于OD，底的和正好是△ABC的周长，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，
∵CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OF=OD=3。
∴△ABC的面积：
$ S_{△ ABC} = S_{△ OAB} + S_{△ OBC} + S_{△ OAC} $
$ = \frac{1}{2} × AB × OE + \frac{1}{2} × BC × OD + \frac{1}{2} × AC × OF $
$ = \frac{1}{2} × 3 × (AB + BC + AC) $
已知△ABC的周长是24，即$ AB + BC + AC = 24 $，代入得：
$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 3 × 24 = 36 $
【答案】
36
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；等面积转化
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题，解题核心是利用角平分线的性质得到三角形内部点到三边的距离相等，再通过割补法将大三角形面积转化为三个等高的小三角形面积和，结合周长条件快速求解，能很好地考查学生对基础性质的应用能力和转化思维。
【难度系数】
0.7

【分析】
要证明BE=CF，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等推导。首先观察图形，BE位于Rt△BDE中，CF位于Rt△CDF中，因此先构造辅助线连接BD、CD：第一步，利用BC垂直平分线的性质，可得BD=CD；第二步，利用角平分线的性质，可得D到AB、AC的距离DE=DF；最后结合两个三角形均为直角三角形，用HL判定定理证明三角形全等，即可得到对应边相等的结论。
【解析】
连接 CD，BD.
∵ D 在 BC 的垂直平分线上，
∴ BD=CD.
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，AD 平分∠BAC，
∴ DE=DF.
∵ ∠BED=∠DFC=90°，在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ DE=DF\end{array} $
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴ BE=CF.
【答案】
BE=CF
【知识点】
垂直平分线的性质；角平分线的性质；直角三角形全等判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题的核心是合理添加辅助线，结合垂直平分线、角平分线的性质获得全等判定所需的边相等条件，再通过全等三角形的性质推导待证结论。
【难度系数】
0.7

【分析】
要找到到三条两两相交公路距离相等的点，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。因此到两条公路距离相等的点，一定在这两条公路夹角的平分线上。我们需要找同时在三条公路两两夹角平分线上的交点：首先考虑三条公路围成的三角形内部，三个内角平分线的交点满足条件；再考虑三角形外部，每两个外角的平分线也会相交，这类交点同样满足到三条公路距离相等，数出所有符合条件的交点即可。作图时只需作出任意两个角（内角或外角）的平分线，交点即为所求。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知：
1. 三条公路围成的三角形的三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路的距离相等；
2. 三角形任意两个外角的角平分线交于1点，这样的交点共有3个，每个点到三条公路的距离也相等。
因此符合条件的地址总共有1+3=4处。作图时任选两个内角或两个外角作角平分线，保留尺规作图的弧线痕迹，交点即为所求点。
【答案】
共有 4 处，加油站应该建在构成的三角形的内、外角平分线的交点处，即图①中的点 P₁，P₂，P₃，P₄ 处.用尺规作出其中一个即可，如图②. 　　
【知识点】
角平分线的性质、角平分线的判定、尺规作图
【点评】
本题结合实际场景考查角平分线相关知识的应用，解题时容易仅考虑三角形内部的交点而漏掉外角平分线的交点，需要全面分析所有夹角平分线的交点，避免漏解。
【难度系数】
0.6

【分析】
要证明DE平分∠ADC，可根据角平分线的判定定理，证明点E到∠ADC的两边AD、DC的距离相等即可。已知AD、BE是△ABC的角平分线，我们可以过点E分别作AB、BC、AD的垂线段，先利用BE是角平分线的性质得到点E到AB和BC的距离相等，再通过角度计算证明AE平分∠HAD（BA延长线与AD的夹角），得到点E到AB和AD的距离相等，最后通过等量代换得到点E到AD、DC的距离相等，即可推导出结论。
【解析】
证明：过点E作EH⊥AB交BA的延长线于点H，EF⊥BC于F，EG⊥AD于G。
∵ AD平分∠BAC，∠BAC=120°，
∴ ∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=60°。
∵ ∠CAH=180°-∠BAC=180°-120°=60°，
∴ ∠CAH=∠CAD，即AE平分∠HAD，
∵ EH⊥AH，EG⊥AD，根据角平分线的性质，可得EH=EG。
又
∵ BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，根据角平分线的性质，可得EH=EF，
∴ EF=EG。
∵ EF⊥DC，EG⊥AD，根据角平分线的判定定理，可得DE平分∠ADC。
【答案】
如图，过点 E 作 EH⊥AB 交 BA 的延长线于点 H，EF⊥BC 于 F，EG⊥AD 于 G.
∵ AD 平分∠BAC，∠BAC=120°，
∴ ∠BAD=∠CAD=60°.
∵ ∠CAH=180°-120°=60°，
∴ AE 平分∠HAD，
∴ EH=EG.
∵ BE 平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，
∴ EH=EF，
∴ EF=EG，
∴ DE 平分∠ADC.
【知识点】
角平分线的定义、角平分线的性质、角平分线的判定
【点评】
本题属于角平分线相关的综合应用题，解题的关键是合理构造辅助线，通过作点到各边的垂线段，将角平分线的性质和判定结合起来，利用等量代换完成证明，熟练掌握角平分线的性质与判定定理是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.6