1. 等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两底角______(简称“______”).
答案：相等 等边对等角
解析：
【分析】
本题是对等腰三角形基础性质定理的识记类考查，解题时只需回忆教材中关于等腰三角形两底角关系的定理内容及对应简称即可，属于概念类基础题，无复杂推导过程，直接对应教材原文填写即可。
【解析】
根据等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两底角相等，该性质的简称为“等边对等角”，含义是相等的边所对的角相等，因此两个空缺处依次填入相等、等边对等角。
【答案】
相等 等边对等角
【知识点】
等腰三角形的性质、等边对等角
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对教材基础定理的记忆掌握，是后续解决等腰三角形相关角度计算、几何证明题的基础，需要熟练牢记该性质内容。
【难度系数】
0.9
2. 等腰三角形的性质定理2:等腰三角形底边上的______、______及______重合(简称“______”).
答案：高线 中线 顶角平分线 三线合一
解析：
【分析】
这道题考查等腰三角形基础性质的识记，解题时可结合等腰三角形的轴对称特征思考：等腰三角形沿底边上的高所在直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这条折痕同时具备三个属性：一是垂直于底边的底边上的高线，二是平分底边的底边上的中线，三是平分顶角的顶角平分线，因此这三条线互相重合，该性质的简称为“三线合一”，据此就能完成填空。
【解析】
根据等腰三角形的性质定理2，等腰三角形底边上的高线、底边上的中线及顶角平分线互相重合，该性质简称“三线合一”，依次填入对应内容即可。
【答案】
高线 中线 顶角平分线 三线合一
【知识点】
等腰三角形的性质；三线合一
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对等腰三角形“三线合一”性质的准确记忆，需注意三条线的限定范围：高线和中线是底边上的，角平分线是顶角的，避免混淆概念。
【难度系数】
0.9
1. (云南中考改编)已知△ABC是等腰三角形.若∠A= 40°,则△ABC的顶角度数是( )
A.40°
B.100°
C.40°或100°
D.40°或70°
答案：C
解析：
【分析】
已知△ABC是等腰三角形，题目未明确∠A是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论求解：①∠A为顶角；②∠A为底角，求解后还要验证结果是否符合三角形内角和为180°的要求，最终确定顶角度数的所有可能值。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当∠A是等腰三角形的顶角时，顶角度数就是40°，此时两个底角均为$\frac{180° - 40°}{2}=70°$，符合三角形内角和定理；
2. 当∠A是等腰三角形的底角时，顶角度数为$180° - 2×40°=100°$，此时两个底角均为40°，也符合三角形内角和定理。
综上，△ABC的顶角度数是40°或100°。
【答案】
C
【知识点】
1. 等腰三角形的性质 2. 三角形内角和定理 3. 分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础易错题，解题关键是明确已知角未说明类型时要分类讨论，避免漏解，同时要注意验证所得角度是否符合三角形内角和要求。
【难度系数】
0.7
2. (淄博中考)某城市几条道路的位置关系如图所示,道路AB//CD,道路AB与AE的夹角∠BAE= 50°.城市规划部门想新修一条道路CE,若CF= EF,则∠E的度数为( )
A.23°
B.25°
C.27°
D.30°
答案：B
解析：
【分析】
解题时先从已知条件入手：第一，由AB//CD可利用平行线的性质得到同位角相等，求出和∠BAE相等的角的度数；第二，由CF=EF可知△CFE是等腰三角形，可得两个底角∠C=∠E；第三，观察到所求∠E相关的外角，利用三角形外角的性质建立角的等量关系，代入计算即可得到∠E的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，∠BAE=50°
∴∠DFE=∠BAE=50°（两直线平行，同位角相等）
∵CF=EF
∴△CFE为等腰三角形，∠C=∠E（等腰三角形两底角相等）
∵∠DFE是△CFE的外角
∴∠DFE=∠C+∠E（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）
将∠C=∠E代入上式得：∠DFE=2∠E
∴∠E=∠DFE÷2=50°÷2=25°
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将平行线、等腰三角形、三角形外角的知识点结合考察，解题的关键是找准角之间的位置关系和等量关系，熟练运用基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3. (2024·云南中考)已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为( )
A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.3
D.$\frac{7}{2}$
答案：C
解析：
【分析】
解题时可按以下思路推导：第一步，结合等腰三角形的性质，底边上的高与顶角平分线重合，确定AF是∠BAC的角平分线；第二步，利用角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可直接得到点F到AC的距离等于到AB的距离。
【解析】
∵△ABC是等腰三角形，BC为底边，AF是底边BC上的高，
∴根据等腰三角形“三线合一”的性质，AF平分∠BAC，即AF是∠BAC的角平分线。
∵点F在∠BAC的角平分线上，且点F到直线AB的距离为3，
根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得点F到直线AC的距离等于点F到直线AB的距离，即距离为3。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，将等腰三角形的性质与角平分线的性质结合考查，熟练掌握相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
4. (2023·凉山州中考)如图,在等腰三角形ABC中,∠A= 40°,分别以点A、点B为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$为半径画弧,两弧分别交于点M和点N,连接MN,直线MN与AC交于点D,连接BD,则∠DBC的度数是______.
答案：30°
解析：
【分析】
首先识别尺规作图的类型：题中描述的作图方法是作线段AB的垂直平分线，因此MN是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=BD，推出∠ABD=∠A；再结合等腰△ABC的顶角∠A的度数，利用三角形内角和与等腰三角形底角相等的性质求出∠ABC的度数，最后用∠ABC减去∠ABD即可得到∠DBC的度数。
【解析】
1. 由尺规作图的特征可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$AD=BD$，因此$∠ ABD=∠ A=40°$。
2. 已知$△ ABC$是等腰三角形，$∠ A$为顶角，根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ABC=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$
3. 因此$∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=70°-40°=30°$
【答案】
$30°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是准确识别尺规作图的含义，结合相关性质进行角度推导，是等腰三角形与垂直平分线结合的典型考题。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在△ABC中,AB= AC,D是边BC的中点,连接AD,点E是BC延长线上一点,CF平分∠ACE,连接AF,且AF= AC.
(1)若∠CAD= 36°,则∠B的度数为______；
(2)求证:AF//BE.
答案：（1）54° 解析：
∵ AB=AC,D 是边 BC 的中点,
∴ AD⊥BC,
∴ ∠ADC=90°,
∴ ∠ACB=90°-∠DAC=90°-36°=54°,
∴ ∠B=∠ACB=54°.
（2）
∵ CF 平分∠ACE,
∴ ∠ACF=∠ECF
∵ AF=AC,
∴ ∠ACF=∠F,
∴ ∠ECF=∠F,
∴ AF//BE.
解析：
【分析】
（1）首先根据等腰三角形三线合一的性质，由AB=AC、D为BC中点可得AD垂直BC，即∠ADC为90°；再在直角三角形ADC中利用两锐角互余求出∠ACB的度数；最后结合等腰三角形两底角相等的性质，即可求出∠B的度数。
（2）要证明AF平行于BE，可通过证明内错角相等推导：先由角平分线的定义得到∠ACF=∠ECF，再根据AF=AC利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠ACF=∠F，通过等量代换可得∠ECF=∠F，最后根据内错角相等，两直线平行即可完成证明。
【解析】
（1）解：
∵ AB=AC，D是边BC的中点，
∴ AD⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴ ∠ADC=90°，
∴ ∠ACB=90°-∠CAD=90°-36°=54°，
又
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠ACB=54°。
（2）证明：
∵ CF平分∠ACE，
∴ ∠ACF=∠ECF，
∵ AF=AC，
∴ ∠ACF=∠F，
∴ ∠ECF=∠F，
∴ AF//BE（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
（1）$\boldsymbol{54°}$；（2）AF//BE，证明成立。
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查等腰三角形的相关性质、角平分线的定义和平行线的判定定理，解题时只要找准对应的角的数量关系，结合相关定理逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
