1. ______相等的三角形叫作等边三角形.
答案：三边都
解析：
【分析】
本题考查等边三角形的定义，解题时先回忆三角形按边的分类规则：两边相等的三角形是等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，核心特征是三条边的长度都相等，结合题干给出的定义表述，直接对应填写符合定义的内容即可。
【解析】
根据等边三角形的标准定义：三边都相等的三角形叫作等边三角形，因此横线处应填入“三边都”。
【答案】
三边都
【知识点】
等边三角形的定义
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对几何基础概念的掌握情况，牢记相关定义即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2. 等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于______°.
答案：60
解析：
【分析】
解题时可按以下思路思考：首先回忆三角形内角和的固定值为180°，再结合等边三角形的特征：三条边相等，对应的三个内角也完全相等。要求等边三角形单个角的度数，只需将内角和平均分成3份，计算出每份的度数即可，本题是对等边三角形基础性质的直接考察。
【解析】
解：
∵ 任意三角形的内角和为180°，
又
∵ 等边三角形的三个内角大小相等，
∴ 等边三角形每个内角的度数为 $ 180° ÷ 3 = 60° $。
【答案】
60
【知识点】
等边三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念题，直接考察等边三角形的核心性质，熟练掌握特殊三角形的基础性质是后续解决复杂几何问题的重要基础。
【难度系数】
0.95
3. 等边三角形的判定定理:(1)三个角都______的三角形是等边三角形;(2)有一个角是______的等腰三角形是等边三角形.
答案：
(1)相等
(2)$60^{\circ }$
解析：
【分析】
本题考查等边三角形的判定定理内容，解题时可结合三角形内角和性质、等腰三角形的性质推导判定定理：①首先回忆三角形内角和为180°，若三个角相等，可推出每个角都是60°，对应三条边也相等，即可得到第一空的结论；②再结合等腰三角形两底角相等的性质，若等腰三角形有一个角为60°，可推导得三个角均为60°，即可得到第二空的结论。
【解析】
(1) 已知三角形内角和为180°，若三角形三个角都相等，则每个角的度数为$180°÷3=60°$，根据“等角对等边”可知三角形的三条边都相等，符合等边三角形的定义，因此三个角都相等的三角形是等边三角形，第一空填“相等”。
(2) 等腰三角形的两个底角相等：若等腰三角形的顶角为$60°$，则两个底角的和为$180°-60°=120°$，每个底角为$60°$；若等腰三角形的底角为$60°$，则另一个底角也为$60°$，顶角为$180°-60°×2=60°$。两种情况均可推出等腰三角形三个角均为$60°$，即为等边三角形，因此有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形，第二空填“$60°$”。
【答案】
(1)相等；(2)$60^{\circ }$
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念识记题，直接考查等边三角形的判定定理内容，熟练掌握相关定理即可快速作答，是等边三角形模块的基础核心考点。
【难度系数】
0.9
4. 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边是斜边的______.
答案：一半
解析：
【分析】
本题考查含30°锐角的直角三角形的性质，既可以直接回忆对应定理作答，也可以通过构造等边三角形的方法推导二者的数量关系：首先根据直角三角形两锐角互余得到另一个锐角为60°，再通过延长短直角边构造垂直平分线，得到等边三角形，进而推导30°角所对直角边和斜边的关系。
【解析】
我们可以通过几何推导验证结论：
设在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，则$∠ B=90°-30°=60°$。
延长$BC$到点$D$，使$CD=BC$，连接$AD$。
$\because AC⊥ BC$，$BC=CD$，$\therefore AC$垂直平分线段$BD$，$\therefore AB=AD$。
又$\because ∠ B=60°$，$\therefore △ ABD$是等边三角形，$\therefore AB=BD$。
$\because BD=BC+CD=2BC$，$\therefore BC=\frac{1}{2}AB$，即30°锐角所对的直角边是斜边的一半。
【答案】
一半
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查特殊直角三角形的基本性质，该性质是几何中求解线段长度、证明线段倍分关系的常用结论，需要牢固记忆并灵活应用。
【难度系数】
0.9
1. 如图,已知射线OM,以点O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以点A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画射线OB,那么$\angle AOB$的度数是( )
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
]
答案：B
解析：
【分析】
解题时先从题目给出的尺规作图步骤入手，先挖掘线段的等量关系：以O为圆心画弧时，OA、OB都是该弧的半径，因此OA=OB；再以A为圆心、AO长为半径画弧得到点B，因此AB=AO。由此可推出△OAB的三条边长度相等，判定其为等边三角形，再结合等边三角形的内角性质即可求出∠AOB的度数。
【解析】
根据作图步骤可得：
∵ 以O为圆心任意长为半径画弧时，OA、OB均为该圆的半径，
∴ OA = OB，
又
∵ 以A为圆心、AO长为半径画弧得到点B，
∴ AB = AO，
∴ OA = OB = AB，即△OAB为等边三角形，
∵ 等边三角形的三个内角均为60°，
∴ ∠AOB = 60°。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的判定，等边三角形的性质，尺规作图的认识
【点评】
本题结合尺规作图考查等边三角形的相关知识，解题的核心是从作图过程中提取线段相等的隐含条件，进而判定三角形的形状，属于基础题，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85
2. 如图,在Rt△ABC中$,\angle BAC= 90^\circ,\angle B= 30^\circ,AD\perp BC. $则下列等式不成立的是( )
A.AC= 2DC
B.AB= 2AD
C.BD= 3DC
D.BD= 2AC
]
答案：D
解析：
【分析】
本题可利用含30°角的直角三角形的性质求解，解题思路如下：第一步，先根据直角三角形两锐角互余，求出△ABC中∠C的度数，再结合AD⊥BC，求出两个小直角三角形Rt△ABD、Rt△ACD中未知锐角的度数；第二步，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，逐个验证四个选项的等式是否成立，也可以设最短边的长度为参数，表示出其余各边长度，通过计算判断等式是否成立。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，
∴∠C=90°-∠B=60°，BC=2AC（直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半）。
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
验证选项A：在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠C=30°，
∴AC=2DC，A选项等式成立，不符合题意；
验证选项B：在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD，B选项等式成立，不符合题意；
验证选项C：设DC=x，由AC=2DC得AC=2x，又BC=2AC，
∴BC=4x，
∴BD=BC-DC=4x-x=3x，即BD=3DC，C选项等式成立，不符合题意；
验证选项D：由上述推导得BD=3x，AC=2x，2AC=4x≠3x，
∴BD≠2AC，D选项等式不成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何判断题，解题关键是找准各个直角三角形中的30°角，利用对应边的关系推导验证，通过设参数表示边长的方法可以降低判断难度，减少出错率。
【难度系数】
0.7
3. 已知有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4,则这个等腰三角形的周长为______.
答案：12
解析：
【分析】
解题时首先回忆等腰三角形的角的性质：等腰三角形两底角相等，再结合三角形内角和为180°，对已知的60°角是顶角还是底角分情况讨论，判断三角形的形状，再计算周长。首先思考：如果60°是顶角，可算出两个底角都是60°；如果60°是底角，可算出顶角也是60°，两种情况都能推出该三角形是等边三角形，三边均等于腰长4，进而求出周长。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当60°角为等腰三角形的顶角时：
两个底角的度数为$\frac{180° - 60°}{2}=60°$，此时三角形三个内角均为60°，为等边三角形；
2. 当60°角为等腰三角形的底角时：
另一个底角也为60°，顶角的度数为$180° - 60° × 2=60°$，此时三角形三个内角也均为60°，为等边三角形。
综上，该三角形是边长为4的等边三角形，周长为$4 × 3 = 12$。
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形的性质；等边三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题核心是利用等腰三角形的角的性质，通过分类讨论确定三角形为等边三角形，解题时注意不要遗漏对角的位置的讨论，属于基础题型，熟练掌握特殊三角形的判定和性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
4. 如图,在等边三角形ABC中,BC= 8,点D是AB的中点,过点D作$DF\perp AC$于点F,过点F作$FE\perp BC$于点E,则BE的长为______.
]
答案：5
解析：
【分析】
解题时先利用等边三角形的性质确定三边长度和内角度数，再结合“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质逐步推导：第一步，由等边三角形性质得AB=AC=BC=8，∠A=∠C=60°；第二步，根据D是AB中点求出AD的长度，在Rt△ADF中计算AF的长度，进而得到FC的长度；第三步，在Rt△FEC中计算EC的长度，最后用BC的长度减去EC即可得到BE的长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，BC=8，
∴AB=AC=BC=8，∠A=∠C=60°。
∵D是AB的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=4。
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
∴∠ADF=90°-∠A=30°，
在Rt△ADF中，AF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴FC=AC-AF=8-2=6。
∵FE⊥BC，
∴∠FEC=90°，
∴∠CFE=90°-∠C=30°，
在Rt△FEC中，EC=$\frac{1}{2}$FC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴BE=BC-EC=8-3=5。
【答案】
5
【知识点】
等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是将等边三角形的性质和特殊直角三角形的边长关系结合使用，只要清晰梳理各条线段的关联，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在等腰三角形ABC中,AB= AC,AF为BC的中线,D为AF上的一点,且BD的垂直平分线过点C并交BD于点E. 求证:△BCD是等边三角形.
]
答案：解：$\because AB=AC$，AF 为 BC 的中线，$\therefore AF\perp BC$，$\therefore BD=DC$.$\because CE$是 BD 的垂直平分线，$\therefore BC=CD$，$\therefore BD=DC=BC$，$\therefore \triangle BCD$是等边三角形.
解析：
【分析】
要证明△BCD是等边三角形，可通过证明三角形三边相等的思路推导。首先利用等腰三角形三线合一的性质，由AB=AC、AF是BC中线可推出AF垂直平分BC，结合点D在AF上，可得BD=DC；再根据CE是BD的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得BC=CD，由此可推出BD=DC=BC，即可判定△BCD为等边三角形。
【解析】
∵ AB=AC，AF为BC的中线，
∴ AF⊥BC，
∴ BD=DC.
∵ CE是BD的垂直平分线，
∴ BC=CD，
∴ BD=DC=BC，
∴ △BCD是等边三角形.
【答案】
△BCD是等边三角形，得证。
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题侧重考查几何基础性质的应用，解题的核心是熟练运用等腰三角形三线合一、线段垂直平分线的性质得到三角形三边的等量关系，结合等边三角形的判定定理即可完成证明，逻辑链条清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在△ABC中$,AB= 5,BC= 7,\angle B= 60^\circ,$现将△ABC沿着射线BC的方向平移2个单位长度得到$△A_1B_1C_1,则△A_1B_1C_1$的周长是( )
A.15
B.21
C.17
D.19
]
答案：6. A 解析：$\because AB=5$，$BC=7$，$\angle B=60^{\circ }$，将$\triangle ABC$沿着射线 BC的方向平移 2 个单位长度得到$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，$\therefore B_{1}C=BC-2=7-2=5$，$AB=A_{1}B_{1}=5$，$\angle A_{1}B_{1}C=\angle B=60^{\circ }$，$\therefore A_{1}B_{1}=B_{1}C$，$\therefore \triangle A_{1}B_{1}C$是等边三角形，$\therefore \triangle A_{1}B_{1}C$的周长$=A_{1}B_{1}+B_{1}C+CA_{1}=5+5+5=15$.故选 A.
解析：
【分析】
解题时首先回忆平移的性质：平移前后图形的对应边相等、对应角相等，且平移距离等于对应点连线的长度。首先根据平移性质得到A₁B₁的长度、∠A₁B₁C的度数，再结合平移距离算出B₁C的长度，发现A₁B₁与B₁C相等且夹角为60°，即可判定△A₁B₁C是等边三角形，最后利用等边三角形三边相等的性质计算周长即可。
【解析】
∵将△ABC沿着射线BC的方向平移2个单位长度得到△A₁B₁C₁，
∴A₁B₁=AB=5，∠A₁B₁C=∠B=60°，BB₁=2，
又
∵BC=7，
∴B₁C=BC - BB₁=7-2=5，
∴A₁B₁=B₁C=5，且∠A₁B₁C=60°，
∴△A₁B₁C是等边三角形，
∴△A₁B₁C的周长为5×3=15。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平移的性质，等边三角形的判定，等边三角形周长计算
【点评】
本题综合考查了平移性质和等边三角形的相关知识，解题的核心是通过平移得到边和角的数量关系，进而判定等边三角形，能够很好地检验学生对基础几何知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
