【分析】
解题时先梳理已知条件：△ABC为等腰三角形（AB=AC），顶角∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线，要求AD的长度。思路如下：第一步，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和为180°，计算出两个底角∠ABC和∠C的度数；第二步，根据角平分线的定义，算出∠ABD、∠CBD的度数；第三步，分别在△BDC和△ABD中，利用“等角对等边”的判定，依次推出BD=BC、AD=BD，最后通过等量代换得到AD的长度。
【解析】
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠C（等边对等角）。
∵ ∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，∠A = 36°，
∴ ∠ABC = ∠C = (180°-36°)÷2 = 72°。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠CBD = ∠ABD = $\frac{1}{2}$∠ABC = 36°。
在△BDC中，∠BDC = 180° - ∠C - ∠CBD = 180° - 72° - 36° = 72°，
∴ ∠BDC = ∠C，
∴ BD = BC = 2（等角对等边）。
在△ABD中，
∵ ∠A = 36°，∠ABD = 36°，
∴ ∠A = ∠ABD，
∴ AD = BD = 2（等角对等边）。
【答案】
2
【知识点】
1.等腰三角形的性质与判定 2.角平分线的定义 3.三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型基础题，核心是通过角度计算得到等角，再借助等腰三角形的性质和判定完成边的等量代换，解题关键是准确计算各角度数，理清角与边的对应关系。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）要证明△DEF是等腰三角形，核心是证明它有两条边相等，结合已知条件可通过证明三角形全等得到对应边相等。首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，可得底角∠B=∠C，再结合题目给出的BE=CF、BD=CE，正好满足SAS全等判定的条件，证明△DBE和△ECF全等后即可得到DE=EF，进而证明△DEF是等腰三角形。
（2）求∠DEF的度数，可利用第一问全等三角形对应角相等的性质做角的转化。先根据三角形内角和定理算出等腰△ABC的底角∠B的度数，再结合△DBE的内角和得到∠BDE+∠DEB的和，将∠BDE替换为相等的∠CEF，即可求出∠DEF的度数。
【解析】
（1）证明：
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C，
在△DBE 和△ECF 中，
$\{\begin{array}{l}BE = CF\\ ∠ B = ∠ C\\ BD = CE\end{array} $
∴ △DBE ≌ △ECF(SAS)，
∴ DE = EF，
∴ △DEF 是等腰三角形。
（2）解：
∵ △DBE ≌ △ECF，
∴ ∠BDE = ∠CEF，
∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠A=40°，∠B=∠C，
∴ $∠ B=\frac{1}{2}(180° - 40°)=70°$，
在△DBE中，∠BDE + ∠DEB = 180° - ∠B = 110°，
∴ ∠CEF + ∠DEB = 110°，
∴ $∠ DEF=180°-(∠ CEF + ∠ DEB)=180°-110°=70°$。
【答案】
（1）△DEF是等腰三角形，得证；
（2）∠DEF=70°
【知识点】
等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础常考题，将全等证明、等腰三角形判定和角度计算结合考查，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，能灵活完成角的等量转化。
【难度系数】
0.8

【分析】
要证明PQ⊥EF，已知Q是EF的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明△PEF为等腰三角形，即PE=PF即可。要得到PE=PF，可通过证明∠AFB=∠DEC实现，这两个角分别在△ABF和△DCE中，因此优先证明两个三角形全等。已知BE=CF，给等式两边同时加上EF可得BF=CE，结合题目给出的AB=DC、∠B=∠C的条件，可通过SAS判定△ABF≌△DCE，再逐步推导即可得到最终结论。
【解析】
∵ BE = CF，
∴ BE + EF = CF + EF，即 BF = CE。
在△ABF 和△DCE 中，
$\begin{cases}AB = DC\\∠ B = ∠ C\\BF = CE\end{cases}$
∴ △ABF ≌ △DCE(SAS)，
∴ ∠AFB = ∠DEC，
∴ PE = PF，即△PEF是等腰三角形。
∵ 点Q为EF的中点，
∴ PQ ⊥ EF（等腰三角形三线合一）。
【答案】
PQ⊥EF
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，等腰三角形三线合一
【点评】
本题是典型的几何综合证明题，解题核心是先利用全等三角形得到对应角相等，推导出等腰三角形，再结合等腰三角形三线合一的性质完成垂直的证明，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和等腰三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 解题思路：要证DE=BD+CE，观察到DE可拆分为DF+EF两段，因此只需证明BD=DF、CE=EF即可。已知条件包含角平分线和平行线，先利用角平分线定义得到相等的角，再结合平行线的内错角相等的性质，推导得出△BDF和△CEF均为等腰三角形，通过等角对等边得到对应边相等，最后通过线段和的等量代换即可证明结论。
(2) 解题思路：核心思路和第(1)问一致，采用“角平分线+平行线”构造等腰三角形的模型。先猜想线段数量关系，再分别证明△BDF和△CEF为等腰三角形，得到BD=DF、CE=EF，结合线段DF=DE+EF，等量代换即可得到三条线段的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ BF，CF分别平分∠ABC，∠ACB，
∴ ∠1 = ∠2，∠5 = ∠4，
∵ DE // BC，
∴ ∠2 = ∠3，∠4 = ∠6（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠1 = ∠3，∠6 = ∠5，
∴ BD = DF，EF = CE（等角对等边），
∴ DE = DF + EF = BD + CE。

(2) 猜想：DE + EC = DB，证明如下：
∵ BF平分∠ABC，
∴ ∠DBF = ∠FBC，
∵ DF // BC，
∴ ∠DFB = ∠FBC（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠DBF = ∠DFB，
∴ DB = DF（等角对等边），
∵ CF平分∠ACG，
∴ ∠ACF = ∠FCG，
∵ DF // BC，
∴ ∠DFC = ∠FCG（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠ACF = ∠DFC，
∴ CE = EF（等角对等边），
∵ DF = DE + EF，
将DF=DB、EF=EC代入得：DE + EC = DB。
【答案】
（1）如图，在△ABC 中，BF，CF 分别平分∠ABC，∠ACB，
∴ ∠1 = ∠2，∠5 = ∠4.
∵ DE // BC，
∴ ∠2 = ∠3，∠4 = ∠6，
∴ ∠1 = ∠3，∠6 = ∠5，
∴ BD = DF，EF = CE，
∴ DE = DF + EF = BD + CE.

（2）DE + EC = DB.证明：
∵ BF 平分∠ABC，
∴ ∠DBF = ∠FBC.
∵ DF // BC，
∴ ∠DFB = ∠FBC，
∴ ∠ABF = ∠DFB，
∴ DB = DF.
∵ CF 平分∠ACG，
∴ ∠ACF = ∠FCG.
∵ DF // BC，
∴ ∠DFC = ∠FCG，
∴ ∠ACF = ∠DFC，
∴ CE = EF.
∵ EF + DE = DF，
∴ DE + EC = DB.
【知识点】
1.等腰三角形的判定
2.平行线的性质
3.角平分线的定义
【点评】
这道题是“角平分线+平行线”构造等腰三角形的典型应用，解题的关键是熟练掌握角平分线、平行线的性质以及等腰三角形的判定定理，注意区分内角平分线交点和内外角平分线交点对应的线段和差关系的区别，该模型在几何证明题中非常常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7