【分析】
解题时可按以下思路推导：第一步，根据角平分线的性质，由AD是∠CAB的平分线、DC⊥AC、DE⊥AB，可得CD=DE；第二步，根据线段垂直平分线的性质，由DE垂直平分AB，可得AD=BD，进而推出∠B=∠BAD；第三步，结合角平分线定义可得∠B=∠BAD=∠CAD，再利用直角三角形两锐角互余求出∠B=30°；第四步，根据含30°角的直角三角形的性质求出BD的长度，最后相加得到BC的长。
【解析】
解：
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE=1（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠B=∠BAD。
又
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠B=∠BAD=∠CAD。
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠B+∠BAD+∠CAD=90°，即3∠B=90°，
解得∠B=30°。
在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠B=30°，
∴BD=2DE=2×1=2（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∴BC=BD+CD=2+1=3。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础综合题，将角平分线、垂直平分线和特殊直角三角形的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握各类基础性质，通过角度推导得到30°角，进而求出对应线段长度，注重对基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先观察固定窗户的结构：窗钩AB安装后，会和窗框上的OA段、窗扇上的OB段共同围成三角形AOB。我们已知三角形独有的特性是：三条边长度确定后，它的形状和大小就完全固定，不会轻易发生变形，也就是三角形具有稳定性，而四边形等多边形不具备该特性，因此该结构可以把窗户固定在打开的状态，对应这个三角形的特性就能得出结论。
【解析】
当窗钩AB固定后，点A、O、B三点构成三角形AOB，三角形具有稳定性，形状确定后不会发生形变，因此可以将打开的窗户固定住。
【答案】
三角形具有稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题属于数学知识在生活中的实际应用类基础题，将生活中的常见固定结构和三角形的特性结合，引导学生学会用数学知识解释生活中的常见现象。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题先从已知条件出发，首先由AE=CF，结合线段和的关系可推出AC=EF，这是两个三角形隐含的一组相等边。分两种情况思考：
①若用“HL”判定全等：HL是直角三角形特有的全等判定，要求两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等。本题两个三角形都是直角三角形，已证得一组直角边AC=EF，因此只需添加斜边相等即可满足HL判定要求，即添加BC=DF。
②若添加∠BCA=∠DFE：梳理现有条件：两个三角形的直角∠A=∠DEF=90°，相等边AC=EF，加上新增的∠BCA=∠DFE，正好符合“两角及其夹边对应相等”的判定规则，因此可用ASA判定全等。
【解析】
首先推导相等边：
∵AE=CF，
∴AE+EC=CF+EC，即$\boldsymbol{AC=EF}$。
1. 按“HL”判定添加条件：
HL判定需直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，已知AC、EF是两个三角形的一组直角边且相等，因此添加斜边相等的条件$\boldsymbol{BC=DF}$时，在Rt△ABC和Rt△EDF中：
$\{\begin{array}{l}BC=DF\\ AC=EF\end{array} $，满足HL判定，两三角形全等。
2. 若添加∠BCA=∠DFE：
已知∠A=∠DEF=90°，已证AC=EF，又∠BCA=∠DFE，满足“两角及其夹边对应相等”的全等判定规则，因此可用$\boldsymbol{ASA}$判定两三角形全等。
【答案】
BC=DF；ASA
【知识点】
HL判定定理，ASA判定定理，线段和差计算
【点评】
本题考查全等三角形的判定，解题关键是先根据已知线段关系推导出隐含的相等边AC=EF，再结合不同判定定理的条件分析所需补充的内容，要注意HL仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先利用等边三角形的性质得到边相等和内角为60°，结合BC=BD推出AB=BD，得到△ABD为等腰三角形，结合已知∠BAD=20°，先计算出∠ABD的度数，再求出∠CBD的度数，最后利用等腰△BCD的内角和性质即可求出∠BCD的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵BC=BD，
∴AB=BD，即△ABD是等腰三角形，
∴∠BAD=∠BDA=20°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠ABD=180°-∠BAD-∠BDA=180°-20°-20°=140°，
∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=140°-60°=80°，
又
∵BC=BD，△BCD为等腰三角形，∠BCD=∠BDC，
∴∠BCD=(180°-∠CBD)÷2=(180°-80°)÷2=50°。
【答案】
50°
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何角度计算的基础题，解题的核心是通过边的等量关系判定等腰三角形，再结合内角和定理逐步推导角度，解题时注意理清各个角之间的数量关系即可。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题思路：首先，根据两堵木墙均与地面垂直，可得∠ADC与∠CEB都为直角；再结合等腰直角三角板∠ACB=90°、AC=BC的性质，利用同角的余角相等推出∠DAC=∠BCE，即可通过AAS证明△ADC≌△CEB，得到对应边CE=AD、DC=BE，因此两堵木墙的距离DE=DC+CE=AD+BE。由于每块小木块高度为2cm，两堵墙的总木块数为10块，因此AD+BE等于10块木块的总高度，代入计算即可得到DE的长度。
【解析】
解：由题意可知AD⊥DE，BE⊥DE，AC=BC，∠ACB=90°，每块小木块高度为2cm，两堵墙共使用10块小木块。
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=180°-∠ACB=90°，
∴∠DAC=∠BCE（同角的余角相等）。
在△ADC和△CEB中：
$\{\begin{array}{l}∠ADC=∠CEB\\∠DAC=∠ECB\\AC=CB\end{array} $
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CE=AD，DC=BE，
∴两堵木墙之间的距离DE=DC+CE=BE+AD。
∵AD为左侧木墙高度，BE为右侧木墙高度，总共有10块高度为2cm的木块，
∴AD+BE=10×2=20cm，即DE=20cm。
【答案】
20
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形的实际应用问题，解题的关键是结合垂直和等腰直角的条件证明三角形全等，将所求距离转化为两墙的高度和，再结合已知条件计算即可，考查了学生的几何推理和知识应用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 要证明BF//CE，可通过证明两条直线都垂直于同一条直线AD来推导平行关系：首先利用三角形外角的性质，结合已知∠ACB=2∠D推导△ACD为等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质得到CE⊥AD，结合已知BF⊥AD即可证得平行；
(2) 求∠ABF的度数，先根据等腰△ABC的顶角度数算出底角∠ACB的度数，再结合∠ACB=2∠D求出∠DAC的度数，进而得到∠BAF的总度数，最后在直角△ABF中利用三角形内角和定理计算∠ABF即可。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB=∠DAC+∠D，
又
∵∠ACB=2∠D，
∴∠DAC+∠D=2∠D，化简得∠DAC=∠D，
∴CA=CD，即△ACD为等腰三角形，
∵CE是∠ACD的平分线，
∴CE⊥AD（等腰三角形顶角平分线与底边上的高重合，三线合一），
又
∵BF⊥AD，
∴BF//CE（垂直于同一直线的两条直线互相平行）。
(2) 解：
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，∠BAC=40°，
∴$∠ ACB=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
∵∠ACB=2∠D，且已证∠DAC=∠D，
∴$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×70°=35°$，
∴∠BAF=∠BAC+∠DAC=40°+35°=75°，
∵BF⊥AD，
∴∠BFA=90°，
在△ABF中，$∠ ABF=180°-∠ BFA-∠ BAF=180°-90°-75°=15°$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\boxed{15°}$
【知识点】
等腰三角形的性质、平行线的判定、三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是灵活运用等腰三角形三线合一的性质，结合角度的数量关系逐步推导，难度适中，需要学生熟练掌握三角形和等腰三角形的基础性质。
【难度系数】
0.7

【分析】
要证明AF=CD，首先结合AD是BC边上的中线，可知BD=CD，因此只需证明AF=BD即可。观察图形，AF与BD分别在△AFE和△DBE中：由AF//BC可得一组内错角相等，E是AD中点可得AE=DE，再加上一组对顶角相等，可利用AAS证明△AFE≌△DBE，得到AF=BD，最后等量代换即可得到AF=CD。
【解析】
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE。
∵点E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD。
在△AFE和△DBE中，
$\{\begin{array}{l}∠ AFE=∠ DBE\\ ∠ FEA=∠ BED\\ AE=DE\end{array} $
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF=BD，
∴AF=CD。
【答案】
AF=CD
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中线的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是通过已知的平行和中点条件找到全等三角形，将待证的线段相等关系转化为全等三角形的对应边相等，是几何线段相等证明的典型基础题型。
【难度系数】
0.8