18.如图,点O是等边三角形ABC内一点,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC,连接
OD.已知∠A0B= 110°,∠B0C= α.
(1)求证:△COD是等边三角形.
(2)当α= 150°时,试判断△A0D的形状,并说明理由.
(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形？
答案：
(1)
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴∠OCD=60°，CO=CD，
∴△COD是等边三角形.
(2)
∵△AOB是直角三角形，理由由
(1)知：△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°.
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°.
∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°，
∴△AOD是直角三角形.
(3)∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，∠ADO=∠ADC-∠CDO=α-60°，∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°.若∠ADO=∠AOD，则α-60°=190°-α，解得α=125°；若∠ADO=∠OAD，则α-60°=50°，解得α=110°；若∠OAD=∠AOD，则50°=190°-α，解得α=140°.
∴当α为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形.
解析：
【分析】
(1) 要证明△COD是等边三角形，可依据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”判定。根据旋转的性质，旋转前后对应边相等、旋转角为60°，可得CO=CD，∠OCD=60°，满足判定条件即可得证。
(2) 判断△AOD的形状，先推导角的度数：由旋转性质得∠ADC=∠BOC=150°，结合(1)中等边△COD的性质得∠ODC=60°，作差可得∠ADO=90°，即可判断三角形形状。
(3) 探究△AOD为等腰三角形的情况，先先用含α的式子表示出△AOD的三个内角：通过周角关系得∠AOD=190°-α，由旋转和等边三角形性质得∠ADO=α-60°，再由三角形内角和算出∠OAD=50°，最后分三种“两角相等”的等腰情况列方程求解即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 证明：
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形。
(2) 解：△AOD是直角三角形，理由如下：
由(1)知△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
由旋转性质可得∠ADC=∠BOC=α=150°，
∴∠ADO=∠ADC - ∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD是直角三角形。
(3) 解：先计算△AOD的三个内角：
∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，
∠ADO=∠ADC - ∠CDO=α-60°，
∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°，
△AOD为等腰三角形分三种情况讨论：
① 若∠ADO=∠AOD，则α-60°=190°-α，解得α=125°；
② 若∠ADO=∠OAD，则α-60°=50°，解得α=110°；
③ 若∠OAD=∠AOD，则50°=190°-α，解得α=140°。
综上，当α为110°、125°或140°时，△AOD是等腰三角形。
【答案】
(1) 已证明△COD是等边三角形；
(2) △AOD是直角三角形；
(3) 当α为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形。
【知识点】
旋转的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查了图形旋转、特殊三角形的判定与性质相关知识，解题核心是利用旋转性质得到边、角的等量关系，第三问求解时需要对等腰三角形的相等边进行分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
19.将两个全等的Rt△ABC和Rt△DBE按图①方式摆放,其中∠ACB= ∠DEB= 90°,∠A= ∠D=
30°,点E落在AB上,DE所在直线交AC所在直线于点F.
(1)求证:AF+EF= DE.
(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转至图②所示,其他条件不变,直接写出(1)
中的结论是否仍然成立.
(3)若将图②中的△DBE继续绕点B按顺时针方向旋转至图③所示,其他条件不变,你认为
(1)中的结论还成立吗？若成立,写出证明过程;若不成立,请写出此时AF,EF与DE之间
的关系,并说明理由.
答案：
(1)在题图①中，连接BF，由条件可知BC=BE，AC=DE，在Rt△BCF和Rt△BEF中，{BF=BF，BC=BE，
∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL)，
∴CF=EF，
∴AF+EF=AF+CF=AC=DE.
(2)
(1)中的结论仍然成立.
(3)
(1)中的结论不成立，此时满足AF-EF=DE.理由如下：在题图③中，连接BF.在Rt△BCF和Rt△BEF中，{BF=BF，BC=BE，
∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL)，
∴CF=EF，
∴AF-FC=AC=DE，
∴AF-EF=DE.
解析：
【分析】
(1) 要证明$AF+EF=DE$，先根据全等三角形性质得$AC=DE$，因此只需证$AF+EF=AC$即可。观察线段关系$AC=AF+CF$，因此只要证明$EF=CF$。连接$BF$，由全等得$BC=BE$，结合$BF$为公共边，可用HL证明$Rt△ BCF$和$Rt△ BEF$全等，得到$CF=EF$即可推导结论。
(2) 旋转后$BC=BE$、$∠ BCF=∠ BEF=90°$、$BF$为公共边的关系不变，全等关系仍然成立，因此(1)的结论保持成立。
(3) 旋转到图③位置时，线段位置发生变化，此时$AF=AC+CF$，结合$AC=DE$、$CF=EF$的关系，可推出$AF-EF=DE$，证明思路仍然是连接$BF$，用HL证全等得到$CF=EF$，再推导线段和差关系。
【解析】
(1) 证明：如图①，连接$BF$，
$\because Rt△ ABC≌ Rt△ DBE$，
$\therefore BC=BE$，$AC=DE$，
$\because ∠ ACB=∠ DEB=90°$，
$\therefore ∠ BCF=∠ BEF=90°$，
在$Rt△ BCF$和$Rt△ BEF$中：
$\begin{cases} BF=BF \\ BC=BE \end{cases}$
$\therefore Rt△ BCF≌ Rt△ BEF(\mathrm{HL})$，
$\therefore CF=EF$，
$\because AC=AF+CF$，
$\therefore AF+EF=AF+CF=AC=DE$，即$AF+EF=DE$。
(2) 解：(1)中的结论仍然成立。
(3) 解：(1)中的结论不成立，此时$AF,EF,DE$的关系为$AF-EF=DE$。
理由如下：如图③，连接$BF$，
$\because Rt△ ABC≌ Rt△ DBE$，
$\therefore BC=BE$，$AC=DE$，
$\because ∠ ACB=∠ DEB=90°$，
$\therefore ∠ BCF=∠ BEF=90°$，
在$Rt△ BCF$和$Rt△ BEF$中：
$\begin{cases} BF=BF \\ BC=BE \end{cases}$
$\therefore Rt△ BCF≌ Rt△ BEF(\mathrm{HL})$，
$\therefore CF=EF$，
$\because AF=AC+CF$，
$\therefore AF=DE+EF$，
移项得$AF-EF=DE$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 成立；
(3) 不成立，此时$\boldsymbol{AF-EF=DE}$，理由见上述解析。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. HL判定直角三角形全等
3. 旋转的性质
【点评】
本题属于几何变换探究类题目，解题核心是抓住旋转过程中不变的边相等关系，通过连接公共斜边$BF$构造全等直角三角形，将待证的线段关系转化为已知的全等三角形对应边的关系，解题时需要注意图形位置变化时线段和差的对应变化，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
