7. 如图,在$\triangle ABC$中,点D,E分别在AC,BC边上,$\triangle ADB \cong \triangle EDB$,$\triangle BDE \cong \triangle CDE$.下列结论:
①$BD是\angle ABE$的平分线;②$AB \perp AC$;③$\angle C= 30^\circ$;④线段$DE是\triangle BDC$的中线;⑤$AD+BD= AC$.其中正确的有( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案：D 解析:①$\because △ADB\cong △EDB,\therefore ∠ABD=∠EBD,$
∴BD 是$∠ABE$的平分线,故①正确;②$\because △BDE\cong △CDE,\therefore ∠DEB=∠DEC.\because ∠DEB+∠DEC=180^{\circ },\therefore ∠BED=90^{\circ }.\because △ADB\cong △EDB,\therefore ∠A=∠BED=90^{\circ },\therefore AB⊥AC$,故②正确;③$\because △ADB\cong △EDB,△BDE\cong △CDE,\therefore ∠ABD=∠EBD,∠EBD=∠C,\therefore ∠C=\frac {1}{3}(180^{\circ }-∠A)=\frac {1}{3}×90^{\circ }=30^{\circ }$,故③正确;④$\because △BDE\cong △CDE,\therefore BE=CE$,
∴线段 DE 是$△BDC$的中线,故④正确;⑤$\because △BDE\cong △CDE,\therefore BD=CD$,则$AD+BD=AD+CD=AC$,故⑤正确.故选 D.
解析：
【分析】
解题时需结合全等三角形对应角相等、对应边相等的性质，逐一验证5个结论是否成立：①要判断BD是否为角平分线，只需证∠ABD和∠EBD相等，可由△ADB≌△EDB直接得到；②要证AB⊥AC，需证∠A=90°，先由△BDE≌△CDE推出∠DEB=90°，再通过全等对应角相等得到∠A=∠DEB即可；③求∠C的度数，可由三组全等得到∠ABD=∠EBD=∠C，结合直角△ABC内角和计算；④判断DE是否为中线，只需证E是BC中点，由△BDE≌△CDE得BE=CE即可；⑤推导AD+BD与AC的关系，由全等得BD=CD，等量代换即可。
【解析】
①$\because △ADB≌ △EDB,\therefore ∠ABD=∠EBD,$
∴BD 是$∠ABE$的平分线，故①正确；
②$\because △BDE≌ △CDE,\therefore ∠DEB=∠DEC.\because ∠DEB+∠DEC=180^{\circ },\therefore ∠BED=90^{\circ }.\because △ADB≌ △EDB,\therefore ∠A=∠BED=90^{\circ },\therefore AB⊥AC$，故②正确；
③$\because △ADB≌ △EDB,△BDE≌ △CDE,\therefore ∠ABD=∠EBD,∠EBD=∠C,\therefore ∠C=\frac {1}{3}(180^{\circ }-∠A)=\frac {1}{3}×90^{\circ }=30^{\circ }$，故③正确；
④$\because △BDE≌ △CDE,\therefore BE=CE$，
∴线段 DE 是$△BDC$的中线，故④正确；
⑤$\because △BDE≌ △CDE,\therefore BD=CD$,则$AD+BD=AD+CD=AC$，故⑤正确。
综上5个结论均正确。
【答案】D
【知识点】
全等三角形的性质，角平分线的判定，三角形中线的定义
【点评】
本题是全等三角形性质的综合应用题，需要结合角平分线、中线的定义，以及角度、线段的等量代换逐一验证结论，解题的关键是准确找到全等三角形的对应边和对应角。
【难度系数】
0.7
8. 已知$\triangle ABC \cong \triangle DEF$,$AB= 5\ cm$,若$\triangle ABC的面积为10\ cm^2$,则$\triangle DEF的边DE$上的高为______$\ cm$.
答案：4 解析:设$△ABC$的边 AB 上的高为 h cm,则$\frac {1}{2}AB\cdot h=10$,即$\frac {1}{2}×5h=10$,解得$h=4.\because △ABC\cong △DEF$,AB 与 DE 是对应边,
∴ DE 边上的高为 4 cm.
解析：
【分析】
解题时首先回忆全等三角形的相关性质：全等三角形的对应边相等，对应边上的高也相等。由题中△ABC≌△DEF的书写顺序可知，AB和DE是对应边，因此DE的长度等于AB=5cm，且DE边上的高与AB边上的高相等。接下来只需要利用三角形面积公式求出△ABC中AB边上的高，就能直接得到DE边上的高。
【解析】
设△ABC的边AB上的高为h cm，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}·AB·h=S_{△ABC}$
将AB=5cm，$S_{△ABC}=10\mathrm{cm}^2$代入得：
$\frac{1}{2}×5×h=10$
解得$h=4$
∵△ABC≌△DEF，AB与DE是对应边，全等三角形对应边上的高相等
∴△DEF的边DE上的高等于AB边上的高，为4cm。
【答案】
4
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是根据全等三角形的书写顺序找准对应边，利用全等三角形对应边、对应高相等的性质，结合三角形面积公式即可快速求解，计算量较小。
【难度系数】
0.8
9. 如图,$\triangle ABC \cong \triangle ADE$,线段$BC$的延长线过点E,与线段$AD$交于点F,$\angle AED= 108^\circ$,$\angle CAD= 12^\circ$,$\angle B= 48^\circ$,则$\angle DEF$的度数为______.
答案：$36^{\circ }$ 解析:$\because △ABC\cong △ADE,\therefore ∠AED=∠ACB=108^{\circ }$.又$\because ∠B=48^{\circ },\therefore ∠CAB=180^{\circ }-∠B-∠ACB=180^{\circ }-48^{\circ }-108^{\circ }=24^{\circ }$.又$\because △ABC\cong △ADE,\therefore ∠EAD=∠CAB=24^{\circ }$.又$\because ∠EAB=∠EAD+∠CAD+∠CAB,∠CAD=12^{\circ },\therefore ∠EAB=24^{\circ }+12^{\circ }+24^{\circ }=60^{\circ },\therefore ∠AEB=180^{\circ }-∠EAB-∠B=180^{\circ }-60^{\circ }-48^{\circ }=72^{\circ },\therefore ∠DEF=∠AED-∠AEB=108^{\circ }-72^{\circ }=36^{\circ }.$
解析：
【分析】
解题时首先根据已知的全等三角形，利用全等三角形对应角相等的性质，得到两组相等的对应角：∠ACB=∠AED、∠EAD=∠CAB。先在△ABC中借助三角形内角和定理算出∠CAB的度数，即可得到∠EAD的度数。接下来观察图形可知∠DEF=∠AED-∠AEB，因此只需要求出∠AEB的度数即可：先结合已知的∠CAD的度数，算出△AEB中∠EAB的总度数，再借助三角形内角和定理算出∠AEB，最后作差即可求出∠DEF。
【解析】
∵ △ABC ≌ △ADE，
∴ ∠AED=∠ACB=108°，∠EAD=∠CAB。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠CAB=180°-∠B-∠ACB=180°-48°-108°=24°，
∴ ∠EAD=∠CAB=24°。
又
∵ ∠CAD=12°，
∴ ∠EAB=∠EAD + ∠CAD + ∠CAB = 24°+12°+24°=60°。
在△AEB中，根据三角形内角和为180°：
∠AEB=180°-∠EAB-∠B=180°-60°-48°=72°，
∴ ∠DEF=∠AED - ∠AEB=108°-72°=36°。
【答案】
$36^{\circ }$
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于全等三角形与三角形内角和的综合基础题，解题的核心是准确找到全等三角形的对应角，梳理清楚图中各角的和差关系，计算时注意区分不同角的度数即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
10. 如图,已知$\triangle ABD \cong \triangle CFD$,$AD \perp BC$于D.
(1)求证:$CE \perp AB$；
(2)已知$BC= 7,AD= 5$,求$AF$的长.
答案：
(1)$\because △ABD\cong △CFD,\therefore ∠BAD=∠FCD$.又$\because ∠AFE=∠CFD,\therefore ∠AEF=∠CDF=90^{\circ },\therefore CE⊥AB.$
(2)$\because △ABD\cong △CFD,\therefore BD=DF,AD=CD.\because BC=7,AD=DC=5,\therefore BD=BC-CD=2,\therefore AF=AD-DF=5-2=3.$
解析：
【分析】
(1)要证明$CE⊥AB$，即需证明$∠ AEF=90°$。已知$△ ABD ≌ △ CFD$，可得到对应角相等，再结合对顶角相等，利用三角形内角和的关系可推出$∠ AEF$和直角$∠ CDF$相等，即可完成证明。
(2)求$AF$的长，首先利用全等三角形对应边相等的性质，得到$AD=CD$、$BD=DF$，结合已知的$BC$和$AD$的长度，先求出$BD$也就是$DF$的长度，再通过线段差$AF=AD-DF$即可求出$AF$的长。
【解析】
(1)证明：$\because △ ABD≌△ CFD$，$\therefore ∠ BAD=∠ FCD$。
又$\because ∠ AFE$与$∠ CFD$是对顶角，$\therefore ∠ AFE=∠ CFD$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ AEF=180°-∠ BAD-∠ AFE$，$∠ CDF=180°-∠ FCD-∠ CFD$，因此$∠ AEF=∠ CDF$。
$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ CDF=90°$，$\therefore ∠ AEF=90°$，即$CE⊥ AB$。
(2)解：$\because △ ABD≌△ CFD$，$\therefore BD=DF$，$AD=CD$。
已知$AD=5$，$\therefore CD=AD=5$。
又$\because BC=7$，$\therefore BD=BC-CD=7-5=2$，$\therefore DF=BD=2$。
$\therefore AF=AD-DF=5-2=3$。
【答案】
(1)已证$CE⊥ AB$；
(2)$AF$的长为$\boldsymbol{3}$。
【知识点】
全等三角形的性质；垂直的判定；线段和差计算
【点评】
本题属于全等三角形性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握全等三角形对应角、对应边相等的性质，通过角的等量代换证明垂直，结合线段和差关系求解未知线段，解题逻辑清晰，考查对基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
11. 如图,已知$\triangle ABC \cong \triangle DEF$,$CD平分\angle BCA$,若$\angle A= 30^\circ$,$\angle CGF= 88^\circ$,求$\angle E$的度数.
答案：$\because △ABC\cong △DEF,∠D=30^{\circ },\therefore ∠A=∠D=30^{\circ },∠E=∠B.\because ∠CGF=88^{\circ },\therefore ∠DCB=∠CGF-∠D=88^{\circ }-30^{\circ }=58^{\circ }.\because CD$平分$∠BCA,\therefore ∠ACB=2∠DCB=116^{\circ },\therefore ∠B=180^{\circ }-∠A-∠ACB=180^{\circ }-30^{\circ }-116^{\circ }=34^{\circ },\therefore ∠E=∠B=34^{\circ }.$
解析：
【分析】
解题时先从已知条件△ABC≌△DEF入手，根据全等三角形对应角相等，可得∠A=∠D=30°，且∠E=∠B，因此要求∠E只需先求出∠B的度数。接下来观察∠CGF=88°，它是△DGC的外角，根据三角形外角的性质可求出∠DCB的度数；再结合CD平分∠BCA，利用角平分线的定义可求出∠ACB的度数；最后根据三角形内角和为180°，在△ABC中计算出∠B的度数，即可得到∠E的度数。
【解析】
∵ △ABC≌△DEF，
∴ ∠A=∠D=30°，∠E=∠B。
∵ ∠CGF=88°，∠CGF是△DGC的外角，
∴ ∠DCB=∠CGF-∠D=88°-30°=58°。
∵ CD平分∠BCA，
∴ ∠ACB=2∠DCB=2×58°=116°。
在△ABC中，∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-30°-116°=34°，
∴ ∠E=∠B=34°。
【答案】
34°
【知识点】
全等三角形的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的几何计算综合题，解题的核心是利用全等三角形的性质实现角的等量转化，再结合角平分线、三角形外角及内角和的相关性质逐步推导未知角，解题时需注意找准全等三角形的对应角，理清各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
12. (几何直观·运算能力)如图,$\triangle ABE和\triangle ADC是\triangle ABC$分别沿着AB,AC边翻折$180^\circ$形成的,若$\angle 1:\angle 2:\angle 3= 28:5:3$,求$\angle \alpha$的度数.
答案：根据题意设$∠1=28x,∠2=5x,∠3=3x$,则$28x+5x+3x=180^{\circ }$,解得$x=5^{\circ },\therefore ∠1=140^{\circ },∠2=25^{\circ },∠3=15^{\circ }$.由折叠的性质可知,$△ABE\cong △ADC\cong △ABC,\therefore ∠2=∠EBA=25^{\circ },∠3=∠ACD=15^{\circ },\therefore ∠EBC=50^{\circ },∠BCD=30^{\circ },\therefore ∠α=∠EBC+∠BCD=80^{\circ }.$
解析：
【分析】
解题时首先根据∠1、∠2、∠3的比例关系，结合三角形内角和为180°，设未知数求出三个角的具体度数；再根据翻折180°的性质可知翻折前后的三角形全等，对应角相等，由此可求出∠EBC和∠BCD的度数；最后根据三角形外角的性质，即可求出∠α的度数。
【解析】
解：设$∠ 1=28x,∠ 2=5x,∠ 3=3x$，
由三角形内角和为$180°$可得：$28x+5x+3x=180°$，
解得$x=5°$，
$\therefore ∠ 1=28×5°=140°$，$∠ 2=5×5°=25°$，$∠ 3=3×5°=15°$。
$\because △ ABE$和$△ ADC$是$△ ABC$分别沿$AB$、$AC$边翻折$180°$形成的，
$\therefore △ ABE≌△ ABC$，$△ ADC≌△ ABC$，
$\therefore ∠ EBA=∠ 2=25°$，$∠ ACD=∠ 3=15°$，
$\therefore ∠ EBC=∠ EBA+∠ 2=25°+25°=50°$，$∠ BCD=∠ ACD+∠ 3=15°+15°=30°$，
$\therefore ∠α=∠ EBC+∠ BCD=50°+30°=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
三角形内角和定理；翻折的性质；三角形外角性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，将翻折变换与三角形角度计算结合，解题核心是抓住翻折前后对应角相等的性质，结合比例关系求出基础角度即可求解，能有效锻炼几何直观和运算能力。
【难度系数】
0.7
