1. 阅读下面文字,然后回答问题.
给出定义:一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数,这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值.例如:2.4的整数部分为2,小数部分为2.4-2= 0.4；$\sqrt{2}$的整数部分为1,小数部分可用$\sqrt{2}-1$表示；再如,-2.6的整数部分为-3,小数部分为|-2.6-(-3)|= 0.4.
由此我们得到:如果$\sqrt{2}= x+y$,其中x是整数,且0＜y＜1,那么x= 1,y= $\sqrt{2}-1$.
(1)如果$\sqrt{7}= a+b$,其中a是整数,且0＜b＜1,那么a= ______,b= ______；
(2)如果$-\sqrt{7}= c+d$,其中c是整数,且0＜d＜1,那么c= ______,d= ______；
(3)已知$m+\sqrt{7}= 7+n$,其中m是整数,且0＜n＜1,求$|m-n|-(1-n)$的平方根.
答案：1.
(1) 2 $\sqrt{7}-2$
(2)-3 $3-\sqrt{7}$
(3)
∵$m+\sqrt{7}=7+n$,其中m是整数,且$0＜n＜1$,
∴$m-n=7-\sqrt{7}$.
∵$4＜7-\sqrt{7}＜5$,
∴$4＜m-n＜5$,$0＜n＜1$,
∴$m=5$,$n=5+\sqrt{7}-7=$
$\sqrt{7}-2$,
∴$|m-n|-(1-n)=|7-\sqrt{7}|-(1-\sqrt{7}+2)=7-\sqrt{7}-3+$
$\sqrt{7}=4$,
∴$|m-n|-(1-n)$的平方根为$\pm 2$.
解析：
【分析】
解决本题的核心是先准确估算无理数$\sqrt{7}$的取值范围，再结合题目给出的整数部分、小数部分的定义逐步求解：
1. 对于前两问，先确定$\sqrt{7}$介于哪两个相邻整数之间，正无理数的整数部分为较小的整数，小数部分为原数减整数部分；负无理数要先确定其介于哪两个负整数之间，整数部分为更小的那个负整数，再根据小数部分的定义计算即可。
2. 第三问先将已知等式变形，用含m和$\sqrt{7}$的式子表示n，结合n的取值范围列出不等式，求出整数m的值，再算出n的值，最后代入代数式计算，再求平方根即可。
【解析】
(1)
∵$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，$\sqrt{7}=a+b$中a是整数，$0＜b＜1$
∴整数部分$a=2$，小数部分$b=\sqrt{7}-2$
(2)
∵$2＜\sqrt{7}＜3$，
∴$-3＜-\sqrt{7}＜-2$，$-\sqrt{7}=c+d$中c是整数，$0＜d＜1$
∴整数部分$c=-3$，小数部分$d=-\sqrt{7}-(-3)=3-\sqrt{7}$
(3)
∵$m+\sqrt{7}=7+n$，其中m是整数，且$0＜n＜1$
∴$n=m+\sqrt{7}-7$，代入$0＜n＜1$得$0＜m+\sqrt{7}-7＜1$
移项得$7-\sqrt{7}＜m＜8-\sqrt{7}$
∵$2＜\sqrt{7}＜3$，
∴$4＜7-\sqrt{7}＜5$，$5＜8-\sqrt{7}＜6$
∴整数$m=5$
将$m=5$代入$n=m+\sqrt{7}-7$，得$n=5+\sqrt{7}-7=\sqrt{7}-2$
代入$|m-n|-(1-n)$：
$\begin{aligned}|m-n|-(1-n)&=|5-(\sqrt{7}-2)|-(1-(\sqrt{7}-2))\\&=|7-\sqrt{7}|-(3-\sqrt{7})\\&=7-\sqrt{7}-3+\sqrt{7}\\&=4\end{aligned}$
∵4的平方根为$\pm2$，
∴$|m-n|-(1-n)$的平方根为$\pm2$
【答案】
(1) $2$，$\sqrt{7}-2$
(2) $-3$，$3-\sqrt{7}$
(3) $\pm2$
【知识点】
无理数的估算；实数新定义运算；平方根计算
【点评】
本题重点考查对新定义的理解应用和无理数估算能力，解题的关键是准确判断无理数的取值范围，尤其要注意负无理数的整数部分的取值规则，第三问需要灵活变形等式确定整数的值，能有效考查知识迁移和代数运算能力。
【难度系数】
0.65
2. 我们规定:用$[x]$表示实数x的整数部分,用＜x＞表示实数x的小数部分,如$[3.14]= 3$,＜3.14＞= 0.14；$[\sqrt{7}]= 2$,＜$\sqrt{7}$＞= $\sqrt{7}-2$；
(1)$[\sqrt{11}]$= ______,＜$\sqrt{11}$＞= ______；
(2)如果＜$\sqrt{5}$＞= a,$[\sqrt{41}]= b$,求$a+b-\sqrt{5}$的平方根；
(3)求$[\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]+[\sqrt{4}]+…+[\sqrt{49}]$的值.
答案：2.
(1)3 $\sqrt{11}-3$
(2)
∵$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$,即$2＜\sqrt{5}＜3$,
∴$\sqrt{5}$的整数部分是2,小数
部分为$\sqrt{5}-2$,即$[\sqrt{5}]=2$,$＜\sqrt{5}＞=\sqrt{5}-2$.
∵$＜\sqrt{5}＞=a$,
∴$a=$
$\sqrt{5}-2$.
∵$\sqrt{36}＜\sqrt{41}＜\sqrt{49}$,即$6＜\sqrt{41}＜7$,
∴$\sqrt{41}$的整数
部分是6,小数部分为$\sqrt{41}-6$,即$[\sqrt{41}]=6$,$＜\sqrt{41}＞=$
$\sqrt{41}-6$.
∵$[\sqrt{41}]=b$,
∴$b=6$,
∴$a+b-\sqrt{5}=\sqrt{5}-2+6-\sqrt{5}=$
4,
∴$a+b-\sqrt{5}$的平方根为$\pm \sqrt{4}=\pm 2$.
(3)由$[a]$的定义可知,
$[\sqrt{1}]=1$,$[\sqrt{2}]=1$,$[\sqrt{3}]=1$,$[\sqrt{4}]=2$,$[\sqrt{5}]=2$,$[\sqrt{6}]=2$,
$[\sqrt{7}]=2$,$[\sqrt{8}]=2$,$[\sqrt{9}]=3$,$[\sqrt{10}]=3$,$\cdots$,$[\sqrt{49}]=7$,
∴$[\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]+[\sqrt{4}]+\cdots +[\sqrt{49}]=1× 3+2× 5+3×$
$7+4× 9+5× 11+6× 13+7=3+10+21+36+55+78+7=210$.
解析：
【分析】
(1) 要确定$[\sqrt{11}]$和$＜\sqrt{11}＞$，先找与11相邻的两个完全平方数9和16，可得$3＜\sqrt{11}＜4$，根据新定义，整数部分就是较小的整数3，小数部分为无理数本身减去整数部分即可。
(2) 先按上述方法分别估算$\sqrt{5}$的小数部分得到$a$的值，估算$\sqrt{41}$的整数部分得到$b$的值，代入$a+b-\sqrt{5}$计算出结果，再根据平方根的定义求其平方根，注意正数的平方根有两个且互为相反数。
(3) 先找规律：当$k^2≤ n＜(k+1)^2$时，$[\sqrt{n}]=k$，对应的$n$的个数为$(k+1)^2-k^2=2k+1$个，$k$从1到6按规律分组求和，最后加上$[\sqrt{49}]=7$即可算出总和。
【解析】
(1) $\because \sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$，
$\therefore [\sqrt{11}]=3$，$＜\sqrt{11}＞=\sqrt{11}-3$。
(2) $\because \sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，
$\therefore \sqrt{5}$的小数部分为$\sqrt{5}-2$，即$a=\sqrt{5}-2$。
$\because \sqrt{36}＜\sqrt{41}＜\sqrt{49}$，即$6＜\sqrt{41}＜7$，
$\therefore \sqrt{41}$的整数部分为6，即$b=6$。
代入式子得：$a+b-\sqrt{5}=\sqrt{5}-2+6-\sqrt{5}=4$，
$\because 4$的平方根为$\pm\sqrt{4}=\pm2$，
$\therefore a+b-\sqrt{5}$的平方根为$\pm2$。
(3) 根据$[x]$的定义分组统计：
当$[\sqrt{n}]=1$时，$1≤ n＜4$，共3个数，和为$1×3=3$；
当$[\sqrt{n}]=2$时，$4≤ n＜9$，共5个数，和为$2×5=10$；
当$[\sqrt{n}]=3$时，$9≤ n＜16$，共7个数，和为$3×7=21$；
当$[\sqrt{n}]=4$时，$16≤ n＜25$，共9个数，和为$4×9=36$；
当$[\sqrt{n}]=5$时，$25≤ n＜36$，共11个数，和为$5×11=55$；
当$[\sqrt{n}]=6$时，$36≤ n＜49$，共13个数，和为$6×13=78$；
当$[\sqrt{n}]=7$时，$n=49$，共1个数，和为$7×1=7$；
$\therefore$ 原式$=3+10+21+36+55+78+7=210$。
【答案】
(1) $3$，$\sqrt{11}-3$；(2) $\pm2$；(3) $210$
【知识点】
估算无理数大小，新定义运算，实数运算
【点评】
本题结合新定义考查无理数估算与实数运算，解题核心是掌握确定无理数整数、小数部分的方法，第三问需要先归纳规律再分组计算，能有效考查逻辑归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
