1. 阅读下面的材料,解答问题：
【问题情境】数学活动课上,老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根”的实践活动.
【实践探究】同学们利用计算器计算出下表中的算术平方根,整理数据如下：
| ... | $\sqrt{0.0625}$ | $\sqrt{0.625}$ | $\sqrt{6.25}$ | $\sqrt{62.5}$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| ... | 0.25 | 0.791 | 2.5 | 7.91 |
| $\sqrt{625}$ | $\sqrt{6250}$ | $\sqrt{62500}$ | ... | |
| 25 | 79.1 | 250 | ... | |
(1)根据上述探究,可以得到被开方数和它的算术平方根之间小数点的变化规律是若被开方数的小数点向右或向左移动______位,则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动______位.
(2)已知$\sqrt{3}\approx1.732$,请运用上述规律直接写出各式的值:$\sqrt{0.03}\approx$______, $\sqrt{300}\approx$______.
(3)你能根据$\sqrt{3}的值说出\sqrt{30}$的值是多少吗?请说明理由.
答案：
(1)2 1
(2)0.173 2 17.32
(3)
∵√3≈1.732,
∴√0.03≈0.173 2,√300≈17.32,又结合
(1)得到的规律可知,不能根据√3的值确定√30的值.
解析：
【分析】
解题思路：首先观察表格中被开方数和对应算术平方根的小数点移动情况，总结通用规律；再运用规律求解第二问的算术平方根；最后判断第三问中被开方数的移动位数是否符合规律，得出结论。
步骤1：对比多组对应数据，例如$\sqrt{0.0625}=0.25$、$\sqrt{6.25}=2.5$、$\sqrt{625}=25$，观察两者的小数点移动位数，总结规律解决第(1)问。
步骤2：第(2)问将待求式的被开方数与已知$\sqrt{3}$的被开方数对比，确定小数点移动位数，按规律移动$\sqrt{3}$的结果的小数点即可得到答案。
步骤3：第(3)问先对比3和30的小数点移动位数，判断是否符合总结的规律，进而得出结论。
【解析】
(1) 观察表格数据：被开方数0.0625的小数点向右移动2位得到6.25，对应的算术平方根0.25的小数点向右移动1位得到2.5；被开方数6.25的小数点向右移动2位得到625，对应的算术平方根2.5的小数点向右移动1位得到25，向左移动也符合该规律，因此被开方数的小数点向右或向左移动2位，它的算术平方根的小数点相应地向右或向左移动1位。
(2) 已知$\sqrt{3}\approx1.732$：
① $\sqrt{0.03}$的被开方数是将3的小数点向左移动2位得到，根据规律，算术平方根的小数点向左移动1位，得$\sqrt{0.03}\approx0.1732$；
② $\sqrt{300}$的被开方数是将3的小数点向右移动2位得到，根据规律，算术平方根的小数点向右移动1位，得$\sqrt{300}\approx17.32$。
(3) 根据规律，只有被开方数的小数点移动位数为2的整数倍时，才能直接得到对应算术平方根的值。3到30，被开方数的小数点仅向右移动了1位，不符合规律的适用条件，因此不能根据$\sqrt{3}$的值确定$\sqrt{30}$的值。
【答案】
(1) 2；1
(2) 0.1732；17.32
(3) 不能根据$\sqrt{3}$的值确定$\sqrt{30}$的值。理由：
∵$\sqrt{3}\approx1.732$，
∴$\sqrt{0.03}\approx0.1732$，$\sqrt{300}\approx17.32$，又结合(1)得到的规律可知，不能根据$\sqrt{3}$的值确定$\sqrt{30}$的值。
【知识点】
算术平方根的性质；开方小数点移动规律；规律探究应用
【点评】
本题考查算术平方根相关的规律探究与应用，需要学生通过观察数据归纳出被开方数和算术平方根的小数点移动规律，解题时要注意规律的适用前提是被开方数的小数点移动位数为2的整数倍，重点考查学生的观察归纳能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
2. 根据表格回答下列问题：
| $a$ | $0.000216$ | $0.216$ | $216$ | $216000$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $\sqrt[3]{a}$ | $0.06$ | $0.6$ | $6$ | $60$ |
(1)想一想表中数$a的小数点的移动与它的立方根\sqrt[3]{a}$的小数点的移动之间有何规律?
(2)根据你发现的规律解答：
(ⅰ)已知$\sqrt[3]{0.214}\approx0.5981$, $\sqrt[3]{2.14}\approx1.289$, $\sqrt[3]{21.4}\approx2.776$,则$\sqrt[3]{2140}$介于哪两个相邻整数之间?
(ⅱ)已知$\sqrt[3]{0.001843}\approx0.1226$,则$\sqrt[3]{1843}\approx$______.
(3)用铁皮制作一个封闭的正方体,它的体积是$1.843$立方米,大约需要多大面积的铁皮?(结果精确到$0.01$平方米)
答案：
(1)规律:数a的小数点每移动三位,它的立方根$\sqrt[3]{a}$的小数点就向相同方向移动一位.
(2)(ⅰ)$\sqrt[3]{2140}$介于整数12和13之间。(ⅱ)12.26
(3)设正方体的棱长为a米,则$a^{3}=1.843$,
∴a≈1.226,
∴$6a^{2}\approx6×1.226^{2}\approx9.02$（平方米）.
答:大约需要9.02平方米的铁皮.
解析：
【分析】
(1) 观察表格中a和对应立方根的小数点变化：对比0.000216与0.216，a的小数点向右移动3位，对应立方根从0.06到0.6也向右移动1位；再对比其余几组数据，均符合该移动规律，即可总结结论。
(2)(ⅰ) 先找到2140和已知立方根的数的关系：2140是2.14的小数点向右移动3位得到的，根据规律，立方根的小数点要向右移动1位，得到$\sqrt[3]{2140}$的近似值，即可判断相邻整数。
(ⅱ) 1843是0.001843的小数点向右移动6位（即2次3位）得到的，对应立方根小数点向右移动2位，即可求出结果。
(3) 先根据正方体体积公式$V=a^3$求棱长a，利用上述规律得到a的近似值，再代入正方体表面积公式$S=6a^2$计算即可。
【解析】
(1) 观察表格数据可得：被开方数a的小数点每向右（或向左）移动3位时，它的立方根$\sqrt[3]{a}$的小数点就向相同方向移动1位。
(2)(ⅰ) 2140是2.14的小数点向右移动3位得到的，已知$\sqrt[3]{2.14}\approx1.289$，根据规律可得$\sqrt[3]{2140}\approx12.89$，因此$\sqrt[3]{2140}$介于整数12和13之间。
(ⅱ) 1843是0.001843的小数点向右移动6位（2次3位）得到的，已知$\sqrt[3]{0.001843}\approx0.1226$，根据规律可得$\sqrt[3]{1843}\approx12.26$。
(3) 设正方体的棱长为a米，由题意得$a^3=1.843$，结合规律可得$a=\sqrt[3]{1.843}\approx1.226$。
正方体表面积为$6a^2$，代入得$6a^2\approx6×1.226^2\approx9.02$（平方米）。
【答案】
(1)规律:数a的小数点每移动三位,它的立方根$\sqrt[3]{a}$的小数点就向相同方向移动一位.
(2)(ⅰ)$\sqrt[3]{2140}$介于整数12和13之间。(ⅱ)12.26
(3)大约需要9.02平方米的铁皮.
【知识点】
1.立方根的性质
2.立方根小数点移动规律
3.正方体表面积与体积计算
【点评】
本题从规律探究出发，考查立方根小数点移动规律的应用，还结合了几何实际计算，要求具备观察归纳能力，解题时要注意小数点移动的方向和位数的对应关系，避免出错。
【难度系数】
0.7
