【分析】
解题思路如下：1. 首先观察图形，△ACB是直角三角形，∠C为直角，满足勾股定理；2. 已知以AB、BC为边的正方形面积，而正方形面积等于边长的平方，因此可以直接得到$AB^2$和$BC^2$的值；3. 利用勾股定理求出$AC^2$的值；4. 再根据半圆的面积公式，把$AC^2$整体代入计算即可得到结果，不需要单独求出AC的长度，简化运算过程。
【解析】
解：
∵△ACB是直角三角形，$∠ ACB=90°$，
∴由勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$。
∵以AB为边的正方形面积为$26\mathrm{cm}^2$，
∴$AB^2=26$；
∵以BC为边的正方形面积为$10\mathrm{cm}^2$，
∴$BC^2=10$。
代入得：$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 26 - 10 = 16$。
以AC为直径的半圆，半径$r=\frac{AC}{2}$，
半圆面积公式为$S=\frac{1}{2}π r^2$，
代入$r=\frac{AC}{2}$得：
$S=\frac{1}{2}π · (\frac{AC}{2})^2 = \frac{1}{2}π · \frac{AC^2}{4} = \frac{π AC^2}{8}$，
把$AC^2=16$代入得：$S=\frac{16π}{8}=2π(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$2π$
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算；半圆面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的核心是理解正方形面积与边长平方的对应关系，灵活运用勾股定理求出AC的平方，再代入面积公式计算即可。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题可结合勾股定理与方程思想求解：首先在Rt△BCD中，利用已知的BC、CD长度，通过勾股定理求出BD的长；再设AC的长为x，由AB=AC可知AB=x，进而表示出AD的长；最后在Rt△ACD中，根据勾股定理列方程求解即可得到AC的长度。
【解析】
解：
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=∠ADC=90°。
在Rt△BCD中，BC=10，CD=8，由勾股定理得：
$BD = \sqrt{BC^2 - CD^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$。
设AC = x，
∵AB=AC，
∴AB = x，
∴AD = AB - BD = x - 6。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AD^2 + CD^2 = AC^2$，
即$(x - 6)^2 + 8^2 = x^2$，
展开得：$x^2 - 12x + 36 + 64 = x^2$，
化简得：$12x = 100$，
解得：$x = \frac{25}{3}$。
【答案】
$\frac{25}{3}$
【知识点】
勾股定理；等腰三角形的性质；方程思想
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，解题关键是合理设未知数，结合直角三角形的三边关系建立方程求解，这种利用方程思想解决几何边长问题的方法需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 要画面积为5的正方形，先根据正方形面积公式算出边长为$\sqrt{5}$，结合网格和勾股定理可知，直角边为1和2的直角三角形斜边长为$\sqrt{5}$，以此为边长构造4条互相垂直且等长、端点都在格点上的线段即可。
(2) 要构造三边长为2、$\sqrt{2}$、$\sqrt{10}$的三角形，先明确三条边的构造方法：长度为2的线段可直接取网格中2个单位长度的横向/纵向格点线段；$\sqrt{2}$是直角边为1、1的直角三角形的斜边；$\sqrt{10}$是直角边为1、3的直角三角形的斜边，将三条线段首尾顺次连接，保证顶点都为格点即可。
(3) 要画三边长均为无理数的直角三角形，首先要满足勾股定理，同时三条边的长度都不是整数，可先选定两条均为无理数的线段作为直角边，验证其平方和开平方后也为无理数，再结合网格画出对应线段，保证顶点为格点即可，画法不唯一。
【解析】
(1) 正方形面积为5，因此边长为$\sqrt{5}$，由勾股定理得$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，先画一条长为$\sqrt{5}$的格点线段，再依次作三条与该线段等长且互相垂直的格点线段，首尾相连得到正方形ABCD，即为所求。
(2) ①先画线段BC，取横向2个单位长度的格点线段，长为2；②以B为端点，作直角边为1、1的直角三角形的斜边AB，AB长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；③连接AC，由勾股定理得$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，此时△ABC三边长分别为2、$\sqrt{2}$、$\sqrt{10}$，符合要求。
(3) 示例：选取直角边分别为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，则斜边长为$\sqrt{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{10}$，三条边长均为无理数，且满足勾股定理，在网格中画出两条互相垂直、长为$\sqrt{5}$的格点线段作为直角边，连接端点得到斜边，所得Rt△DEF即为所求，画法不唯一。
【答案】
画法合理即可，如:
(1)正方形ABCD如图①所示。
(2)△ABC如图②所示;
(3)Rt△DEF如图③所示。

【知识点】
勾股定理；正方形性质；直角三角形判定
【点评】
本题属于网格开放性作图题，核心考查勾股定理的实际应用，需要学生结合网格特征构造指定长度的线段，难度适中，能有效提升学生的动手操作能力和知识运用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 第一小问已知BC边上的高AD，可将△ABC拆分为两个直角三角形，先分别在两个直角三角形中用勾股定理求出BD、CD的长度，相加得到BC的长，再代入三角形面积公式即可求解。
(2) 第二小问没有给出高，先过点A作BC边上的高AD，构造出两个直角三角形，设BD为x，用含x的式子表示CD，再根据两个直角三角形中AD²的不同表达式列方程，解出x后求出高AD的长度，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
(1) 在Rt△ABD中，由勾股定理得$BD^{2}+AD^{2}=AB^{2}$。
∵AB = 13，AD = 12，
∴$BD=\sqrt{13^2-12^2}=5$。
在Rt△ADC中，由勾股定理得$CD^{2}+AD^{2}=AC^{2}$。
∵AC = 20，AD = 12，
∴$CD=\sqrt{20^2-12^2}=16$，
∴BC = BD + CD = 5+16=21，
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}×BC×AD = \frac{1}{2}×21×12 = 126$。
(2) 过点A作AD⊥BC于点D，设BD = x，则CD = 14 - x。
由勾股定理得$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=15^{2}-x^{2}$，$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=13^{2}-(14 - x)^{2}$，
∴$15^{2}-x^{2}=13^{2}-(14 - x)^{2}$，
化简解得x = 9，
∴$AD=\sqrt{15^2-9^2}=12$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×14×12 = 84$。
【答案】
(1)126；(2)84
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；方程思想解几何题
【点评】
这两道题是勾股定理在三角形面积求解中的典型应用，第一题可直接利用已知高拆分直角三角形求底边长，第二题需要通过作辅助线构造直角三角形，结合方程思想求出高的长度，掌握勾股定理以及合理构造直角三角形是解题的关键。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 要证明△ACE≌△BCD，首先结合等腰直角三角形的性质可得AC=BC、CE=CD，只需再证明两边的夹角相等即可；已知∠ACB和∠ECD均为90°，两个角同时减去公共角∠ACD，即可推得∠ACE=∠BCD，满足SAS全等判定条件，即可完成证明。
(2) 要证明$2CD^{2}=AD^{2}+DB^{2}$，首先借助(1)的全等结论，可得AE=DB，且∠CAE=∠B=45°，结合等腰直角△ACB中∠BAC=45°，可推出∠DAE=90°，在Rt△ADE中运用勾股定理可得$AD^{2}+AE^{2}=DE^{2}$，将AE替换为DB可得$AD^{2}+DB^{2}=DE^{2}$；再在等腰直角△ECD中运用勾股定理，结合CE=CD可推得$DE^{2}=2CD^{2}$，最后等量代换即可得证。
【解析】
(1)
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，$∠ ACB=∠ ECD = 90°$，
即$∠ ACD+∠ BCD=∠ ACD+∠ ACE$，
∴$∠ ACE=∠ BCD$。
在△ACE和△BCD中，$\begin{cases}AC = BC\\∠ ACE = ∠ BCD\\CE = CD\end{cases}$，
∴△ACE≌△BCD（SAS）。
(2)
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴$∠ B=∠ BAC = 45°$。
∵△ACE≌△BCD，
∴$∠ B=∠ CAE = 45°$，$AE=DB$，
∴$∠ DAE=∠ CAE+∠ BAC = 45°+45°=90°$，
在Rt△ADE中，由勾股定理得$AD^{2}+AE^{2}=DE^{2}$，
代入$AE=DB$得$AD^{2}+DB^{2}=DE^{2}$。
又
∵在Rt△ECD中，由勾股定理得$CD^{2}+CE^{2}=DE^{2}$，且CD = CE，
∴$2CD^{2}=DE^{2}$，
∴$2CD^{2}=AD^{2}+DB^{2}$。
【答案】
(1) △ACE≌△BCD，证明成立；
(2) $2CD^{2}=AD^{2}+DB^{2}$，证明成立。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题为几何综合基础题，解题核心是先通过角的等量转化证明三角形全等，再借助全等性质得到边、角的对应关系，构造直角三角形后结合勾股定理完成推导，能够有效训练几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7