拼图法验证勾股定理:用两种不同的方法计算同一个图形的______,由此得到一个等式,化简后得到直角三角形三边之间的数量关系.
答案：面积
解析：
【分析】
我们先梳理拼图法验证勾股定理的核心逻辑：拼接图形的过程中，图形的总面积是固定不变的。验证时会将若干个全等的直角三角形拼接成一个规则的封闭图形，我们可以用两种思路计算这个图形的大小：一种是直接根据拼接后大图形的形状，用对应面积公式计算总面积；另一种是把大图形拆成拼接用的直角三角形、小正方形等小图形，累加小图形的面积得到总面积。两种方法计算的是同一个图形的同一个量，结果相等，建立等式化简后就能得到直角三角形三边的数量关系，因此空缺处就是我们两次计算的对象：面积。
【解析】
拼图法验证勾股定理的核心是面积恒等原理：将若干全等的直角三角形拼接为规则图形后，分别用整体计算大图形面积、分割累加小图形面积这两种不同方法计算该图形的面积，两个计算结果相等，列等式化简后即可推导出直角三角形三边的数量关系，因此此处应填“面积”。
【答案】
面积
【知识点】
勾股定理的证明、面积法
【点评】
本题考查勾股定理证明的基础原理，属于概念类基础题，理解面积恒等的思路是解决这类拼图证明问题的关键。
【难度系数】
0.9
1. 历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形,其中两个全等的直角三角形的边AE,EB在一条直线上.证明中用到的面积相等关系是( )
A.$S_{\triangle EDA}= S_{\triangle CEB}$
B.$S_{\triangle EDA}+S_{\triangle CEB}= S_{\triangle CDE}$
C.$S_{四边形CDAE}= S_{四边形CDEB}$
D.$S_{\triangle EDA}+S_{\triangle CDE}+S_{\triangle CEB}= S_{四边形ABCD}$
答案：D
解析：
【分析】
要确定证明勾股定理用到的面积相等关系，首先观察图形特征：整个图形是直角梯形ABCD，它的面积有两种计算方式，一是直接用梯形面积公式计算，二是将梯形分割为3个三角形，计算3个三角形的面积和，两种方式计算的是同一个图形的面积，因此二者相等，据此匹配选项即可。
【解析】
观察图形可知，四边形ABCD为直角梯形，它的面积可通过两种方式计算：
1. 直接用梯形面积公式计算：$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)· AB=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$；
2. 将梯形分割为$△ EDA$、$△ CDE$、$△ CEB$三个三角形，因此$S_{四边形ABCD}=S_{△ EDA}+S_{△ CDE}+S_{△ CEB}$。
这个等量关系就是证明勾股定理用到的面积相等关系，对应选项D。
逐一排除其他选项：A选项中两个三角形全等面积相等，但不是证明勾股定理的核心面积关系；B、C选项的面积等量关系不成立，均错误。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的证明，面积法，梯形面积计算
【点评】
本题是勾股定理经典证法的考查，核心是利用“等积法”，通过同一图形面积的不同表示方法构造等量关系，这是几何证明中常用的思路，同学们要熟练掌握面积割补、等量代换的相关技巧。
【难度系数】
0.7
2. 如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的面积分别是4,6,2,4,则正方形E的边长是______.
答案：4
解析：
【分析】
看到勾股树由正方形和直角三角形组成，首先回忆勾股定理的几何意义：以直角三角形两条直角边为边长的正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积。解题时先分别求出A、B对应的斜边正方形的面积，以及C、D对应的斜边正方形的面积，二者之和就是正方形E的面积，最后对E的面积开算术平方根即可得到E的边长。
【解析】
根据勾股定理的几何意义：直角三角形两直角边对应正方形的面积和等于斜边对应正方形的面积。
1. 设正方形A、B下方直角三角形的斜边对应的正方形面积为$S_1$，则$S_1 = S_A + S_B = 4 + 6 = 10$；
2. 设正方形C、D下方直角三角形的斜边对应的正方形面积为$S_2$，则$S_2 = S_C + S_D = 2 + 4 = 6$；
3. 正方形E的面积为上述两个正方形的面积和：$S_E = S_1 + S_2 = 10 + 6 = 16$；
4. 正方形边长为面积的算术平方根，因此正方形E的边长为$\sqrt{16}=4$。
【答案】
4
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理几何意义的典型应用题型，解题核心是找准直角三角形三边对应的正方形面积的数量关系，逐步推导即可得到结果，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
3. 将长为10,宽为6的长方形分割成四个全等的直角三角形(如图①),拼成“赵爽弦图”(如图②),得到大小两个正方形,则小正方形的面积是______.
答案：49
解析：
【分析】
解题思路如下：首先要从分割的长方形中确定四个全等直角三角形的两条直角边长度，再结合“赵爽弦图”的结构特征，找到小正方形边长和直角三角形直角边的关系，最后计算小正方形的面积即可。第一步：长方形宽为6，被平均分成2份，对应直角三角形的短直角边长度；长方形的长对应直角三角形的长直角边长度。第二步：赵爽弦图中，小正方形的边长等于直角三角形长直角边与短直角边的差。第三步：根据正方形面积公式计算面积。
【解析】
解：已知长方形长为10，宽为6，分割得到的四个直角三角形全等，
∴ 每个直角三角形的长直角边 = 长方形的长 = 10，
短直角边 = 长方形的宽 ÷ 2 = 6÷2 = 3，
观察赵爽弦图可知，小正方形的边长 = 长直角边 - 短直角边 = 10 - 3 = 7，
∴ 小正方形的面积 = 7×7 = 49。
【答案】
49
【知识点】
赵爽弦图的特征，正方形面积计算，图形的剪拼
【点评】
本题重点考查对赵爽弦图结构的认识，需要结合图形剪拼前后的边长关系求解，只要明确弦图中小正方形边长和直角三角形直角边的关系，就能轻松得出结果。
【难度系数】
0.7
4. 意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理,其中图①的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成,图②的空白部分是由两个直角三角形和一个正方形组成.设图①中空白部分的面积为$S_{1}$,图②中空白部分的面积为$S_{2}$.
(1)请用含a,b,c的代数式分别表示$S_{1},S_{2}$;
(2)请利用达·芬奇的方法证明勾股定理.
答案：
(1)根据题意得,题图①中空白部分的面积$S_{1}=a^{2}+b^{2}+2×\frac {1}{2}ab=a^{2}+b^{2}+ab$,题图②中空白部分的面积$S_{2}=c^{2}+2×\frac {1}{2}ab=c^{2}+ab.$
(2)由$S_{1}=S_{2}$得$a^{2}+b^{2}+ab=c^{2}+ab,\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
解析：
【分析】
(1) 计算$S_1$时，先明确图①空白部分由边长为a的正方形、边长为b的正方形和两个直角边为a、b的直角三角形组成，分别计算各部分面积求和即可；计算$S_2$时，明确图②空白部分由边长为c的正方形和两个与图①相同的直角三角形组成，同理求和即可得到$S_2$的表达式。
(2) 图形仅进行剪开、翻转操作，前后空白部分的总面积不变，即$S_1=S_2$，代入两个表达式后消去同类项，即可推导出勾股定理。
【解析】
(1) 根据图形空白部分的组成：
图①中，两个正方形的面积分别为$a^2$、$b^2$，两个直角三角形的面积和为$2×\frac{1}{2}ab=ab$，因此空白面积$S_1=a^2+b^2+ab$；
图②中，边长为c的正方形面积为$c^2$，两个直角三角形的面积和同样为$ab$，因此空白面积$S_2=c^2+ab$。
(2) 由于图形剪拼前后空白部分总面积相等，故$S_1=S_2$，将表达式代入得：
$a^2+b^2+ab=c^2+ab$
等式两边同时减去$ab$，可得$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
【答案】
(1) $S_1=a^2+b^2+ab$，$S_2=c^2+ab$
(2) 由$S_1=S_2$得$a^2+b^2+ab=c^2+ab$，$\therefore a^2+b^2=c^2$
【知识点】
面积计算，等量代换，勾股定理
【点评】
本题是勾股定理证明的经典典例，利用图形变换前后面积不变的原理，将几何关系转化为代数等式推导结论，能帮助学生直观理解勾股定理的内涵，考查了数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.75
