【分析】
本题考查勾股定理及其逆定理的基础内容，解题时首先明确两个定理的适用条件：①是直角三角形的三边关系，已知∠C为直角，对应的边AB是斜边c，两条直角边为a、b，根据勾股定理的定义即可写出对应关系式；②是勾股定理的逆定理，已知c为三角形最长边，要判断三角形是直角三角形，需满足两短边的平方和等于最长边的平方，对应写出关系式即可。
【解析】
1. 求解空①：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，可知$∠ C$所对的边$AB=c$是斜边，$BC=a$、$AC=b$是两条直角边，根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，可得$a^2+b^2=c^2$，因此①处填$a^2+b^2=c^2$。
2. 求解空②：
勾股定理的逆定理规定：若三角形的三边长$a,b,c$（$c$为最长边）满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，因此三边需要满足的关系为$a^2+b^2=c^2$，故②处填$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
①$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ②$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对勾股定理和逆定理内容的记忆与理解，掌握核心定理内容即可快速作答。
【难度系数】
0.9

【分析】
首先观察图形，左侧是直角边长分别为3cm、4cm的直角三角形，阴影长方形的长等于该直角三角形的斜边长，宽为已知的1cm。解题时先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，再代入长方形面积公式即可求出阴影部分面积。
【解析】
1. 求直角三角形的斜边长：
根据勾股定理，直角三角形的斜边长为$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\mathrm{cm}$，即阴影长方形的长为5cm。
2. 计算阴影长方形的面积：
已知长方形宽为1cm，根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得阴影面积为$5×1=5\mathrm{cm^2}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；长方形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是建立直角三角形斜边和长方形长的对应关系，结合勾股定理和面积公式即可求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断四组线段能否构成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题步骤为：首先找出每组线段中长度最大的边，再分别计算两条较短边的平方和、最长边的平方，最后比较两个结果是否相等，相等则可构成直角三角形。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，逐一分析选项：
A. 最长边为6，两条短边平方和为$4^2+5^2=16+25=41$，最长边平方为$6^2=36$，$41≠36$，不能构成直角三角形；
B. 最长边为4，两条短边平方和为$2^2+3^2=4+9=13$，最长边平方为$4^2=16$，$13≠16$，不能构成直角三角形；
C. 最长边为4，两条短边平方和为$(\sqrt{3})^2+(\sqrt{7})^2=3+7=10$，最长边平方为$4^2=16$，$10≠16$，不能构成直角三角形；
D. 最长边为$\sqrt{3}$，两条短边平方和为$1^2+(\sqrt{2})^2=1+2=3$，最长边平方为$(\sqrt{3})^2=3$，$3=3$，可以构成直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理、二次根式的运算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题时需注意先确定最长边，再验证平方和关系，计算带根号的数的平方时要准确运用二次根式的性质，避免计算错误。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先根据三角形外角的性质，∠ACD是△ABC的外角，可得∠ACD=∠B+∠BAC，结合已知条件∠ACD=2∠B，可推导出∠B=∠BAC，根据等角对等边可知BC=AC。接下来在Rt△ACD中，已知两条直角边AD和CD的长度，利用勾股定理可求出AC的长度，即可得到BC的长度，最后BD=BC+CD，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 推导边相等：
∵ ∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角性质，∠ACD=∠B+∠BAC
又已知∠ACD=2∠B
∴ 2∠B=∠B+∠BAC，化简得∠B=∠BAC
根据等角对等边，可得BC=AC
2. 计算AC的长度：
在Rt△ACD中，∠D=90°，AD=15，CD=8
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$
∴ BC=AC=17
3. 计算BD的长度：
$BD=BC+CD=17+8=25$
【答案】
D
【知识点】
三角形外角性质，勾股定理，等腰三角形判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是通过外角的角度关系推导出等腰三角形，实现未知边的转化，再结合勾股定理求解线段长度，侧重对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先根据数轴上A、B两点对应的数求出AB的长度，再结合直角三角形的条件利用勾股定理计算斜边AC的长度；接着根据圆的性质，同圆半径相等，得到AD=AC；最后结合点D在点A左侧的位置特征，用点A对应的数减去AD的长度，即可得到点D表示的数。
【解析】
1. 计算AB的长度：
∵点A对应的数为-1，点B对应的数为2，
∴$AB = 2 - (-1) = 3$。
2. 用勾股定理求AC的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$BC=1$，根据勾股定理：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 1^2 = 10$，
∴$AC=\sqrt{10}$（线段长度为正，舍去负根）。
3. 求点D表示的数：
∵以点A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于D，
∴$AD=AC=\sqrt{10}$。
又
∵点D在点A的左侧，
∴点D表示的数为$-1 - \sqrt{10}=-\sqrt{10}-1$。
【答案】
$-\sqrt{10}-1$
【知识点】
勾股定理，数轴与实数，圆的基本性质
【点评】
本题是数轴与几何的结合题型，考查数形结合思想的应用，解题的关键是准确求出AC的长度，同时注意点D在数轴上的位置，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题思路分两步走：第一步，先处理给出的等式，观察到等式由绝对值、平方项和可配方为完全平方的代数式组成，这三类都是非负数，根据非负数的性质：几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，即可求出x、y、z的值；第二步，利用勾股定理的逆定理，计算三边长的平方，判断是否满足两边平方和等于第三边的平方，就能确定三角形的形状。
【解析】
先对等式中含z的项配方：
$z^2-12z+36=(z-6)^2$，因此原式可变形为：
$|x-\sqrt{15}|+(y-\sqrt{21})^2+(z-6)^2=0$
∵ 绝对值、平方数都是非负数，即$|x-\sqrt{15}|≥0$，$(y-\sqrt{21})^2≥0$，$(z-6)^2≥0$
∴ 要使三个非负数的和为0，需每一项都为0，即：
$x-\sqrt{15}=0$，解得$x=\sqrt{15}$
$y-\sqrt{21}=0$，解得$y=\sqrt{21}$
$z-6=0$，解得$z=6$
接下来计算三边长的平方：
$x^2=(\sqrt{15})^2=15$，$y^2=(\sqrt{21})^2=21$，$z^2=6^2=36$
∵ $15+21=36$，即$x^2+y^2=z^2$
根据勾股定理的逆定理，可知该三角形为直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
非负数的性质；完全平方公式；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题的关键是熟练掌握非负数的性质求出三边长，再结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.8

【分析】
解决本题可按以下思路推导：第一步，已知Rt△ABC的两条直角边长，先通过勾股定理求出斜边AB的长度；第二步，CD是斜边AB上的高，利用三角形面积的两种计算形式（直角边乘积的一半、斜边与斜边上高乘积的一半），通过等面积法求出CD的长度；第三步，在Rt△BCD中再次运用勾股定理求出BD的长度；第四步，根据E是AB中点求出BE的长度，最后通过线段差$DE=BE-BD$得出结果。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=3$，$AC=4$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$\because CD⊥ AB$于点D，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AC=\frac{1}{2}AB· CD$，
代入数值可得：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CD$，解得$CD=2.4$。
在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{3^2-2.4^2}=\sqrt{9-5.76}=\sqrt{3.24}=1.8$。
$\because E$是AB的中点，
$\therefore BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5=2.5$，
$\therefore DE=BE-BD=2.5-1.8=0.7$。
【答案】
$0.7$
【知识点】
勾股定理，等面积法求高，线段中点性质
【点评】
本题是直角三角形相关计算的基础题型，核心是灵活运用勾股定理和等面积法，结合线段的和差关系求解，解题逻辑清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.7