【分析】
解题首先要明确象棋中“马走日”的规则：每一步移动可以沿横向走2格、纵向走1格，或者沿横向走1格、纵向走2格。我们的目标是找到不走重复路线的前提下，走两步后落点与出发点的最短距离，因此可以先梳理出马第一步的所有可能落点，再从这些落点出发走第二步，计算所有第二步落点到初始位置的距离，选取最小值即可。
【解析】
按照马走日的规则分析走法：
第一步：马从初始位置出发，可走到标注为①的位置（横向右移1格，纵向下移2格，符合走日规则，无重复路线）；
第二步：从①的位置继续按照规则移动，可走到标注为②的位置（横向左移2格，纵向上移1格，无重复路线）；
此时观察落点②和初始马的位置，两点横向相差1格，纵向相差1格，根据勾股定理，两点间距离为$\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，该距离为所有可行落点中的最短距离。
【答案】
如图,第一步到①,第二步到②,故走两步后的落点与出发点间的最短距离为$\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$.(落点不唯一)
【知识点】
勾股定理，网格距离计算
【点评】
本题结合了象棋规则与几何计算，既考查了对生活规则的理解能力，也考查了勾股定理在网格问题中的实际应用，需要灵活结合常识与数学知识解题。
【难度系数】
0.7

【分析】
要判断从四个点中任取三点构成的三角形是否为直角三角形，我们可以先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算每个选项中三角形三边长度的平方，再根据勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，逐一判断即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算各边长度的平方：
先计算所有相关边的平方：
$AB^2=(2-1)^2+(1-3)^2=1+4=5$，$AC^2=(6-2)^2+(3-1)^2=16+4=20$，$BC^2=(6-1)^2+0=25$，
$AD^2=(3-2)^2+(4-1)^2=1+9=10$，$BD^2=(3-1)^2+(4-3)^2=4+1=5$，$CD^2=(6-3)^2+(3-4)^2=9+1=10$。
逐一判断选项：
A. $△ ABD$：$AB^2+BD^2=5+5=10=AD^2$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；
B. $△ ADC$：$AD^2+CD^2=10+10=20=AC^2$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；
C. $△ ABC$：$AB^2+AC^2=5+20=25=BC^2$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；
D. $△ BCD$：$BD^2+CD^2=5+10=15≠25=BC^2$，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，网格图形计算
【点评】
本题属于勾股定理相关的基础应用题型，解题核心是先通过勾股定理求出各边的平方，再利用逆定理判断是否为直角三角形，计算时注意不要数错格点距离。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决这道题首先要利用折叠的性质得到相等的线段，再结合矩形的边长，先用勾股定理求出AF的长度，进而得到FB的长度，最后设CE的长为未知数，在直角三角形BEF中利用勾股定理列方程求解即可。
第一步：回忆折叠性质，折叠前后对应边、对应角相等，可得DF=DC，EF=CE；第二步：矩形ABCD中DC=AB=10，AD=BC=6，在Rt△ADF中已知AD和DF的长度，用勾股定理算出AF，再求FB的长度；第三步：设CE=x，用含x的式子表示BE的长度，在Rt△BEF中根据勾股定理列方程，解方程得到CE的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=CD=10，AD=BC=6，
∵△CDE沿DE折叠得到△FDE，
∴△CDE≌△FDE，
∴DF=DC=10，EF=CE。
在Rt△ADF中，AD=6，DF=10，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{DF^2-AD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$，
∴$FB=AB-AF=10-8=2$。
设CE的长为$x$，则$EF=x$，$BE=BC-CE=6-x$，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：
$EF^2=FB^2+BE^2$，
即$x^2=2^2+(6-x)^2$，
展开得：$x^2=4+36-12x+x^2$，
移项化简得：$12x=40$，
解得：$x=\frac{10}{3}$，即CE的长为$\frac{10}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是几何折叠类的典型题型，解题关键是利用折叠的性质转化相等线段，结合勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题考查直角三角形的边长计算，解题时需注意题目未明确给出的两条边是直角边还是斜边，因此要结合直角三角形斜边最长的性质分类讨论：首先判断已知的两条边10和6的角色，分10为斜边、10为直角边两种情况，分别用勾股定理计算对应边长，再找出较长的直角边即可。
【解析】
已知直角三角形两条边长为6和10，分两种情况讨论：
1. 当长为10的边是斜边时：
设另一条直角边长为x，根据勾股定理得：
$x^2 + 6^2 = 10^2$
$x^2 = 100 - 36 = 64$
因为边长为正数，所以$x=8$
此时两条直角边为6和8，较长的直角边长为8。
2. 当长为10的边是直角边时：
此时两条直角边为6和10，较长的直角边长为10，斜边长度为$\sqrt{6^2+10^2}=\sqrt{136}＞10$，符合直角三角形斜边最长的性质。
综上，这个三角形较长的直角边长为8或10。
【答案】
8或10
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；直角三角形三边关系
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，默认10为斜边只得到结果8，漏了10为直角边的情况。解题时遇到未明确边的类型的直角三角形边长问题，要先分类讨论，再验证结果是否符合三角形三边性质。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题可利用勾股定理的几何意义求解：在直角三角形中，以两条直角边为边长的正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形面积。首先设中间未标注的正方形面积为S，先观察左侧直角三角形，可得正方形A、B的面积和等于S；再观察右侧直角三角形，可得S与正方形C的面积和等于正方形D的面积，联立两个关系式即可求出正方形A的面积。
【解析】
设中间阴影正方形的面积为S，根据勾股定理的几何意义：
1. 对左侧的直角三角形，两条直角边分别为正方形A、B的边长，斜边为中间正方形的边长，因此有：
$S_A + S_B = S$
2. 对右侧的直角三角形，两条直角边分别为中间正方形、正方形C的边长，斜边为正方形D的边长，因此有：
$S + S_C = S_D$
将第一个式子代入第二个式子，可得：$S_A + S_B + S_C = S_D$
已知$S_B=4$，$S_C=3$，$S_D=9$，代入上式：
$S_A + 4 + 3 = 9$
解得$S_A=9-7=2$
【答案】
2
【知识点】
勾股定理；正方形面积
【点评】
本题是勾股定理几何意义的基础应用题型，解题核心是准确建立直角三角形三边和对应正方形面积的关系，通过中间量关联已知条件与所求量即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7

【分析】
已知AD是BC边上的高，可得△ABD和△ACD均为直角三角形，可先利用勾股定理分别求出BD、CD的长度。需注意高AD的位置存在两种情况：当△ABC为锐角三角形时，AD在三角形内部，此时BC的长为BD与CD的和；当△ABC为钝角三角形时，AD在三角形外部（D在CB的延长线上），此时BC的长为CD与BD的差，需分情况讨论求解，避免漏解。
【解析】
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
①当高AD在△ABC内部时：
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$，
∴$BD=6$；
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$，
∴$CD=15$；
此时$BC = BD + CD = 6 + 15 = 21$。
②当高AD在△ABC外部时（即∠ABC为钝角，D在CB的延长线上）：
同理可得$BD=6$，$CD=15$，
此时$BC = CD - BD = 15 - 6 = 9$。
综上，BC的长为21或9。
【答案】
21或9
【知识点】
勾股定理；三角形的高；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略高在三角形外部的情况，导致只得到21这一个结果。解题时要结合高的位置特征对三角形的形状进行分类讨论，再运用勾股定理准确计算线段长度。
【难度系数】
0.6

【分析】
要求葛藤的最短长度，属于立体图形上的最短路径问题，解题思路是将曲面转化为平面求解：首先把圆柱的侧面展开为长方形，根据“两点之间线段最短”，葛藤的最短长度就是展开后长方形中A、B两点间的线段长度。葛藤缠绕5周，因此展开后水平方向的长度是5个底面周长，竖直方向的长度等于圆柱的高，最后用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
将圆柱侧面展开得到长方形，在Rt△ABC中：
竖直边BC等于圆柱的高，即BC=20尺；
水平边AC为葛藤绕5周的水平总长度，即$AC=5×3=15$尺；
根据勾股定理，$AB^2=AC^2+BC^2=15^2+20^2=225+400=625$，因此$AB=25$尺。

【答案】
25
【知识点】
勾股定理的应用；立体图形侧面展开；最短路径计算
【点评】
本题结合古代数学问题考查最短路径求解，核心解题方法是将立体曲面展开转化为平面图形，再利用勾股定理计算，渗透了转化的数学思想，有助于提升空间想象能力。
【难度系数】
0.7