【分析】
本题属于“将军饮马”类最短路径问题，解题思路如下：① 要使牧童从A到河边再到B的路程最短，需将折线路径转化为直线段，因此利用轴对称的性质，作点A关于河岸MN的对称点$A'$，根据轴对称性质可得$AP=A'P$，总路程$AP+PB$就转化为$A'P+PB$；② 根据“两点之间线段最短”，可知$A'B$的长度就是所求的最短路程，最后构造直角三角形，利用勾股定理计算$A'B$的长度即可。
【解析】
解：作点A关于小河MN的对称点$A'$，连接$A'B$交MN于点P，此时$AP=A'P$，因此总路程$AP+PB=A'P+PB$，根据两点之间线段最短，此时的路程最短，最短值为$A'B$的长度。
由题意可知：A到MN的距离为4km，因此$AA'=2×4=8\mathrm{km}$，A在B的北边7km处、西边8km处，因此$A'D=AA'+AD=8+7=15\mathrm{km}$，$BD=8\mathrm{km}$。
在$\mathrm{Rt}△ A'DB$中，由勾股定理得：
$A'B^2=A'D^2+DB^2=15^2+8^2=225+64=289$
因此$A'B=\sqrt{289}=17\mathrm{km}$，即$AP+PB=17\mathrm{km}$。
【答案】
他要完成这件事情所走的最短路程是17km。
【知识点】
轴对称的应用，勾股定理，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径问题与勾股定理结合的典型应用题，解题核心是通过作对称点将同侧折线路径转化为异侧直线段，再结合勾股定理计算长度，是几何实际应用的常考题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
题目给出AC平分∠BAD，且有公共边AC，我们可以采用角平分线常用的辅助线构造方法——截长法，在较长的AB边上截取AE=AD，即可构造出全等三角形，将CD转化为CE，结合已知BC=CD，可得到CE=BC，即△BCE为等腰三角形；接下来作等腰三角形底边AB上的高CF，利用三线合一得到线段EF、FB的长度，再先后在两个直角三角形中运用勾股定理，依次求出CF和AC的长度即可。
【解析】
解：在AB上截取$AE=AD$，连接CE。
∵AC平分∠BAD，
∴$∠ DAC=∠ EAC$。
在$△ ADC$和$△ AEC$中：
$\begin{cases}AD=AE\\∠ DAC=∠ EAC\\AC=AC\end{cases}$
∴$△ ADC≌△ AEC$（SAS），
∴$CE=CD=10$，$AE=AD=9$。
又
∵$BC=10$，
∴$CE=BC$，即$△ BCE$为等腰三角形。
过点C作$CF⊥ AB$于F，根据等腰三角形三线合一的性质，得$EF=FB=\frac{1}{2}BE$。
∵$BE=AB-AE=21-9=12$，
∴$EF=FB=\frac{1}{2}×12=6$。
在$Rt△ BFC$中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{BC^2-FB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
又
∵$AF=AE+EF=9+6=15$，
在$Rt△ AFC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AF^2+CF^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{289}=17$。
【答案】
AC的长为17。

【知识点】
全等三角形判定与性质、等腰三角形三线合一、勾股定理
【点评】
本题是典型的几何综合题，解题核心是利用角平分线的特征构造全等三角形，将分散的已知边条件集中转化，再结合等腰三角形性质和勾股定理逐步推导边长，对学生的几何辅助线构造能力、知识点综合运用能力有较好的考查作用。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 要证明DF⊥AB，本质是证明∠AFE=90°。首先从已知条件入手：AC⊥BD且∠CAD=45°，可推出△ACD是等腰直角三角形，得到AC=DC，再结合AB=DE的条件，可通过HL判定证明Rt△ABC和Rt△DEC全等，得到对应角相等，再利用直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质做角的转化，即可推出∠AFE=90°。
(2) 用面积法证明勾股定理，首先需明确各部分图形面积的等量关系：阴影部分两个三角形的面积和，等于△ABD与△ABE的面积差。再由(1)的全等结论得到各边的等量关系，将所有面积用a、b、c表示后代入等量关系化简，即可推导出勾股定理。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AC⊥BD$，$∠CAD=45°$，
∴ $AC=DC$，$∠ACB=∠DCE=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEC$中，
$\begin{cases} AC=DC \\ AB=DE \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEC(\mathrm{HL})$，
∴ $∠BAC=∠EDC$。
∵ $∠EDC+∠CED=90°$，$∠CED=∠AEF$（对顶角相等），
∴ $∠AEF+∠BAC=90°$，
∴ $∠AFE=90°$，即$DF⊥AB$。
(2) 证明：
由(1)的全等结论可得：$BC=CE=a$，$AC=CD=b$，且$DE=AB=c$。
根据图形面积关系可知：$S_{△ BCE}+S_{△ ACD}=S_{△ ABD}-S_{△ ABE}$，
代入三角形面积公式：
左边：$S_{△ BCE}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2$，
右边：$S_{△ ABD}-S_{△ ABE}=\frac{1}{2}·c·DF-\frac{1}{2}·c·EF=\frac{1}{2}·c·(DF-EF)=\frac{1}{2}·c·DE=\frac{1}{2}c^2$，
∴ $\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}c^2$，
两边同乘2得：$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
(1) $DF⊥AB$，得证；
(2) $a^2+b^2=c^2$，得证。
【知识点】
全等三角形判定与性质，直角三角形性质，面积法证明勾股定理
【点评】
本题将三角形全等、直角三角形性质与勾股定理证明相结合，第一问的全等证明是解题的核心突破口，第二问通过面积关系的转化推导勾股定理，能够有效锻炼几何逻辑推理和图形面积分析能力。
【难度系数】
0.6