23. 小明发现有一个铁球拿在手上感觉稍轻，于是想通过实验来判断铁球是不是空心的。他的实验步骤如下：① 用调好的天平测出铁球的质量；② 用量杯测出适量水的体积；③ 将铁球浸没在量杯内的水中，测出水和铁球的总体积。他测得的实验数据如下表所示。
请利用他测得的数据判定该铁球是不是空心的。若该铁球是空心的，请求出空心部分的体积。（$\rho_{铁}=7.9×10^{3}kg/m^{3}$）
答案：解：铁球的体积$V_{\mathrm{球}}=80\ \mathrm{mL}-30\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{cm}^3$
根据$\rho=\frac{m}{V}$，158g铁的体积：
$ V_{\mathrm{铁}}=\frac{m}{\rho_{\mathrm{铁}}}=\frac{158\ \mathrm{g}}{7.9\ \mathrm{g/cm}^3}=20\ \mathrm{cm}^3$
因为$V_{\mathrm{铁}}＜V_{\mathrm{球}}$，所以铁球是空心的。
空心部分体积：
$ V_{\mathrm{空}}=V_{\mathrm{球}}-V_{\mathrm{铁}}=50\ \mathrm{cm}^3-20\ \mathrm{cm}^3=30\ \mathrm{cm}^3$
解析：
【分析】
要判断铁球是否空心，可先通过排水法算出铁球的实际体积，再结合铁的密度和铁球质量，利用密度公式算出相同质量的实心铁的体积，将两者对比：若实心铁的体积小于铁球实际体积，则铁球是空心的；空心部分体积等于铁球实际体积减去实心铁的体积。具体思路为：先从表格数据计算铁球体积，再计算实心铁体积，最后对比判断并计算空心体积。
【解析】
1. 计算铁球的实际体积：
由表格数据可知，水的体积$V_{水}=30\ \mathrm{mL}$，水和铁球的总体积$V_{总}=80\ \mathrm{mL}$，根据排水法可得铁球的体积：
$V_{\mathrm{球}}=V_{总}-V_{水}=80\ \mathrm{mL}-30\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{cm}^3$
2. 计算质量为158g的实心铁的体积：
已知铁的密度$\rho_{铁}=7.9×10^{3}kg/m^{3}=7.9\ \mathrm{g/cm}^3$，铁球质量$m=158\ \mathrm{g}$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$变形得$V=\frac{m}{\rho}$，则实心铁的体积：
$V_{\mathrm{铁}}=\frac{m}{\rho_{\mathrm{铁}}}=\frac{158\ \mathrm{g}}{7.9\ \mathrm{g/cm}^3}=20\ \mathrm{cm}^3$
3. 判断铁球是否空心：
因为$V_{\mathrm{铁}}＜V_{\mathrm{球}}$，所以该铁球是空心的。
4. 计算空心部分的体积：
$V_{\mathrm{空}}=V_{\mathrm{球}}-V_{\mathrm{铁}}=50\ \mathrm{cm}^3-20\ \mathrm{cm}^3=30\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
该铁球是空心的，空心部分的体积为$30\ \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
密度公式应用、空心物体判断、排水法测体积
【点评】
本题考查了密度公式在判断空心物体问题中的应用，核心是理解排水法测体积的原理，解题时要注意单位的统一，步骤清晰严谨。
【难度系数】
0.7
24. 一块石材的体积为 12 m³，为了计算它的质量，现取一小块石材样品，测出其质量是 135 g，体积为 50 cm³。（g 取 10 N/kg）
（1）求该石材的密度。
（2）运送这块石材的卡车自重为 $5×10^{4}$ N。司机看到前方桥头有如图所示的标志牌，请通过计算说明这辆卡车能否从桥上通过。
答案：解：（1）石材的密度：
$ \rho=\frac{m_{\mathrm{样}}}{V_{\mathrm{样}}}=\frac{135\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}=2.7\ \mathrm{g/cm}^3=2.7×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$
（2）石材的质量：
$ m_{\mathrm{石}}=\rho V_{\mathrm{石}}=2.7×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×12\ \mathrm{m}^3=3.24×10^{4}\ \mathrm{kg}=32.4\ \mathrm{t}$
卡车的质量：
$ m_{\mathrm{车}}=\frac{G_{\mathrm{车}}}{g}=\frac{5×10^{4}\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=5×10^{3}\ \mathrm{kg}=5\ \mathrm{t}$
卡车和石材的总质量：
$ m_{\mathrm{总}}=32.4\ \mathrm{t}+5\ \mathrm{t}=37.4\ \mathrm{t}$
因为$37.4\ \mathrm{t}＜40\ \mathrm{t}$，所以这辆卡车能从桥上通过。
解析：
【分析】
1. 对于第（1）问，密度是物质的固有属性，样品与整块石材的密度相同，因此可利用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，代入样品的质量和体积计算石材的密度，注意单位的统一与换算。
2. 对于第（2）问，首先根据密度公式变形$m=\rho V$计算整块石材的质量；再利用重力公式$G=mg$的变形$m=\frac{G}{g}$将卡车自重转换为卡车的质量；接着计算卡车与石材的总质量，最后将总质量与桥头标志牌的限重40t比较，若总质量小于等于限重，则卡车能通过，反之则不能。
【解析】
（1）计算石材的密度：
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，代入样品的质量和体积：
$\rho=\frac{m_{\mathrm{样}}}{V_{\mathrm{样}}}=\frac{135\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}=2.7\ \mathrm{g/cm}^3=2.7×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$
（2）判断卡车能否通过桥梁：
① 计算整块石材的质量：
由$\rho=\frac{m}{V}$变形得$m=\rho V$，代入数据：
$m_{\mathrm{石}}=\rho V_{\mathrm{石}}=2.7×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3×12\ \mathrm{m}^3=3.24×10^{4}\ \mathrm{kg}=32.4\ \mathrm{t}$
② 计算卡车的质量：
由$G=mg$变形得$m=\frac{G}{g}$，代入卡车自重数据：
$m_{\mathrm{车}}=\frac{G_{\mathrm{车}}}{g}=\frac{5×10^{4}\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=5×10^{3}\ \mathrm{kg}=5\ \mathrm{t}$
③ 计算卡车与石材的总质量：
$m_{\mathrm{总}}=m_{\mathrm{石}}+m_{\mathrm{车}}=32.4\ \mathrm{t}+5\ \mathrm{t}=37.4\ \mathrm{t}$
④ 比较总质量与限重：
桥头标志牌限重为40t，因为$37.4\ \mathrm{t}＜40\ \mathrm{t}$，所以这辆卡车能从桥上通过。
【答案】
（1）该石材的密度为$2.7×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$；
（2）这辆卡车能从桥上通过。
【知识点】
1. 密度公式的应用
2. 重力与质量的换算
3. 限重问题分析
【点评】
本题是密度与重力的综合应用题，既考查了密度公式的基本应用，又涉及重力与质量的转换，同时需要结合交通标志牌的实际含义解决问题，着重考查学生对基础公式的掌握、单位换算能力，以及联系实际解决物理问题的思维。
【难度系数】
0.8
