7. 「2025 河北中考」如图，在五边形$ABCDE$中，$AE // BC$，延长$BA$，$BC$，分别交直线$DE$于点$M$，$N$.若添加下列一个条件后，仍无法判定$△ MAE ∽ △ DCN$，则这个条件是(
D
)
A.$∠ B + ∠ 4 = 180°$
B.$CD // AB$
C.$∠ 1 = ∠ 4$
D.$∠ 2 = ∠ 3$
答案：7.D
∵AE//BC,
∴∠AEM=∠CND.若∠B+∠4=180°,则CD//BM,
∴∠CDN=∠AME,
∴△MAE∽△DCN;若CD//AB,则同上可判定△MAE∽△DCN;若∠1=∠4,则∠MAE=∠DCN,又
∵∠AEM=∠CND,
∴△MAE∽△DCN;由∠2=∠3只能得出∠AEM=∠CND=∠CDN,不能判定△MAE∽△DCN.故选D
8. 「2025 内蒙古中考」如图，在平面直角坐标系中，$△ OAB$的顶点坐标分别是$O(0,0)$，$A(2,1)$，$B(1,2)$，以原点$O$为位似中心，在第三象限画$△ OA'B'$与$△ OAB$位似，若$△ OA'B'$与$△ OAB$的相似比为$2:1$，则点$A$的对应点$A'$的坐标为(
B
)
A.$(-2,-1)$
B.$(-4,-2)$
C.$(-1,-2)$
D.$(-2,-4)$
答案：8.B
∵以原点O为位似中心,在第三象限画△OA'B'与△OAB位似,△OA'B'与△OAB的相似比为2:1,
∴点A(2,1)的对应点A'的坐标为(−2×2,−2×1),即(−4,−2).故选B.
9. 「2025 四川内江中考」阿基米德曾说过：“给我
一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原
理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.图甲是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂$OA = 150\ \mathrm{cm}$，阻力臂$OB = 50\ \mathrm{cm}$，$BD = 20\ \mathrm{cm}$，则$AC$的长度是(
B
)
A.$80\ \mathrm{cm}$
B.$60\ \mathrm{cm}$
C.$50\ \mathrm{cm}$
D.$40\ \mathrm{cm}$
答案：9.B
∵AC⊥AB,BD⊥AB,
∴AC//BD,
∴△AOC∽△BOD,
∴AC/BD=OA/OB,
∵OA=150cm,OB=50cm,BD=20cm,
∴AC/20=150/50,
∴AC=60cm,故选B.
10. 「2025 青海中考」如图，在$△ ABC$中，$DE // BC$，且$AD = 3$，$DB = 2$，则$\dfrac{AE}{AC}$的值是
3/5
.
答案：10.答案 3/5
解析
∵AD=3,DB=2,
∴AB=AD+DB=3+2=5,
∵DE//BC,
∴AE/AC=AD/AB=3/5.
11. 「2025 山西中考」如图，在四边形$ABCD$中，$AD // BC$，$∠ B = 90°$，$AB = 8$，$BC = 4$，点$E$在边$AB$上，$AE = 3$，连接$CE$，且$∠ DCE = ∠ BCE$.点$F$在$BC$的延长线上，连接$DF$.若$DF = DC$，则线段$CF$的长为
18/5
.
答案：11.答案 18/5
解析 如图,延长DA,CE,交于点G,过点D作DH⊥CF于点H.
∵DF=DC,
∴CH=FH=1/2 CF;
∵AD//BC,
∴△AEG∽△BEC,
∴AE/BE=AG/BC,
∴3/(8 - 3)=AG/4,
∴AG=12/5.
∵AG//BC,
∴∠G=∠BCE,
∵∠DCE=∠BCE,
∴∠G=∠DCE,
∴DG=DC,
∵AD//BC,∠B=90°,DH⊥CF,
∴四边形ABHD为矩形，
∴AD=BH=BC+CH=4+CH,AB=DH=8,
在Rt△DCH中,DC²=DH²+CH²=DG²,
∴8²+CH²=(4+CH+12/5)²,
解得CH=9/5,
∴CF=2CH=18/5.
12. 「2025 上海中考」如图，在$\odot O$中，$AB$和$CD$是弦，半径$OA$，$OB$分别交$CD$于点$E$，$F$，且$CE = DF$.
(1)求证：$AB // CD$.
(2)连接$BD$，若$AB = BD$，求证：$AB^2 = BF · OB$.
答案：12.证明 (1)如图,连接OC,OD,
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC;
∵CE=DF,
∴△OCE≌△ODF(SAS),
∴OE=OF,
∴∠OEF=(180° - ∠EOF)/2=∠OAB,
∴CD//AB.
(2)
∵△OCE≌△ODF,
∴∠COE=∠DOF,
∵AB=BD,
∴∠AOB=∠DOF,
∴∠AOB=∠DOF=∠COE,
如图,连接AF,
∵OA=OD,∠AOF=∠DOF,OF=OF,
∴△AOF≌△DOF(SAS),
∴∠OAF=∠ODF=∠OCE,
又
∵∠OEC=∠AEF,
∴∠COE=∠AFE,
∴∠AOB=∠COE=∠AFE=∠FAB,
又
∵∠OBA=∠ABF,
∴△BAF∽△BOA,
∴AB/OB=BF/AB,
∴AB²=BF·OB.
