8. 「2024 重庆中考 A 卷，★☆」如图，在 $△ ABC$ 中，延长 $AC$ 至点 $D$，使 $CD = CA$，过点 $D$ 作 $DE // CB$，且 $DE = DC$，连接 $AE$ 交 $BC$ 于点 $F$. 若 $∠ CAB = ∠ CFA$，$CF = 1$，则 $BF =$
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答案：8. 答案 3
解析 $∵CD = CA,DE//CB$, $∴AF = EF$, $∴CF$ 是 $△ADE$ 的中位线, $∴DE = 2CF = 2$, $∵DE = DC,CD = CA$, $∴AC = DE = 2$, $∵∠CAB = ∠CFA,∠ACF = ∠ACB$, $∴△CAF∽△CBA$, $∴AC:BC = CF:AC$, $∴2:BC = 1:2$, $∴BC = 4$, $∴BF = BC - FC = 3$.
9. 「2025 四川成都期末，★☆」如图，点 $B$ 为线段 $AC$ 上一点，满足 $∠ A = ∠ EBD = ∠ C = 90°$，$AE = 1$，$AB = BC = 2$
(1) 求 $CD$ 的长.
(2) 求证：$△ ABE ∽ △ BDE$.
答案：9. 解析 (1) $∵∠A = ∠EBD = ∠C = 90°$, $∴∠ABE + ∠AEB = ∠ABE + ∠CBD$,即 $∠AEB = ∠CBD$, $∴△ABE∽△CDB$, $∴\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{BC}$,即 $ \frac{2}{CD} = \frac{1}{2} $, $∴CD = 4$,即 $CD$ 的长为4.(2)证明:由勾股定理得 $BE = \sqrt{AE^{2} + AB^{2}} = \sqrt{5}$, $BD = \sqrt{BC^{2} + CD^{2}} = 2\sqrt{5}$, $∴\frac{AE}{BE} = \frac{AB}{BD} = \frac{\sqrt{5}}{5}$,又 $∵∠A = ∠EBD = 90°$, $∴△ABE∽△BDE$.
模型解读 “K” 字型相似条件: $A,B,E$ 三点共线, $∠1 = ∠2 = ∠3$.结论: $△ACE∽△BED$.
10. 如图，等边 $△ ABC$ 的边长为 $20$，动点 $P$ 从点 $B$ 出发沿 $BC$ 运动到点 $C$，连接 $AP$，作 $∠ APD = 60°$，$PD$ 交 $AC$ 于点 $D$，$CD$ 的最大值为
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答案：10. 答案 5
解析 设 $BP = x(0 ≤ x ≤ 20),CD = y$, $∵$ 等边 $△ABC$ 的边长为20, $∴AB = BC = 20,∠B = ∠C = 60°$, $∴PC = 20 - x$. $∵∠APC = ∠APD + ∠CPD = ∠B + ∠BAP$, $∠APD = 60°$, $∴∠BAP = ∠CPD$, $∴△ABP∽△PCD$, $∴\frac{AB}{PC} = \frac{BP}{CD}$,即 $ \frac{20}{20 - x} = \frac{x}{y} $, $∴y = -\frac{1}{20}x^{2} + x = -\frac{1}{20}(x - 10)^{2} + 5$,当 $x = 10$ 时, $y$ 有最大值,最大值为5, $∴CD$ 的最大值为5.
1. 「2025 广东深圳福田三模」如图，$△ BCD$ 内接于 $\odot O$，$CD$ 是 $\odot O$ 的直径，$∠ DBC$ 的平分线交 $CD$ 于点 $E$，交 $\odot O$ 于点 $A$，连接 $AC$，$AD$. 求证：$AC^{2} = AE · AB$.
答案：1. 证明 $∵CD$ 是 $⊙O$ 的直径, $∴∠DBC = 90°,∠DAC = 90°$, $∵∠DBC$ 的平分线交 $CD$ 于点 $E$,交 $⊙O$ 于点 $A$, $∴∠ABD = ∠ABC = 45°$,由同弧所对的圆周角相等可得 $∠ABD = ∠ACD = ∠ABC = ∠ADC = 45°$,又 $∵∠EAC = ∠CAB$, $∴△EAC∽△CAB$, $∴\frac{AC}{AB} = \frac{AE}{AC}$, $∴AC^{2} = AE· AB$.
2. 「2025 河南焦作沁阳二模」如图，$CD$ 是 $Rt △ ABC$ 斜边 $AB$ 上的中线，过点 $D$ 作 $AB$ 的垂线，交 $BC$ 于 $E$，交 $AC$ 的延长线于 $F$. 求证：
(1) $△ ADF ∽ △ EDB$.
(2) $CD^{2} = DE · DF$.
答案：2. 证明 (1)在 $Rt△ABC$ 中, $∠B + ∠A = 90°$, $∵DF⊥AB$, $∴∠BDE = ∠ADF = 90°$, $∴∠A + ∠F = 90°$, $∴∠B = ∠F$, $∴△ADF∽△EDB$.
(2) $∵CD$ 是 $Rt△ABC$ 斜边 $AB$ 上的中线, $∴CD = AD = DB$, $∴∠DCE = ∠B$,由(1)知 $∠B = ∠F$, $∴∠DCE = ∠F$,又 $∠CDE = ∠FDC$, $∴△CDE∽△FDC$, $∴\frac{CD}{DF} = \frac{DE}{DC}$, $∴CD^{2} = DE· DF$.
