12. 「2025 甘肃武威凉州三模，★☆」如图，在 $ △ ABC $ 中，点 $ D $ 在边 $ BC $ 上，连接 $ AD $，$ ∠ BAD = ∠ BCA $，若 $ AB = 5 $，$ BC = 8 $，$ △ ABD $ 的周长为 12.5，则 $ △ ABC $ 的周长为(
A
)
A.20
B.25.5
C.30
D.35.5
答案：12. A
∵∠BAD=∠BCA，∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴$\frac{C_{△BAD}}{C_{△BCA}}=\frac{AB}{BC}$，
∵AB=5，BC=8，△ABD的周长为12.5，
∴$\frac{12.5}{C_{△BCA}}=\frac{5}{8}$，解得C_{△BCA}=20.故选A.
13. 「2025 广东汕头濠江一模，★☆」如图，四边形 $ ABCD $ 为平行四边形，$ CE:EF:FD = 1:2:1 $，$ AE $，$ BF $ 相交于点 $ G $。设 $ △ EFG $ 和 $ △ ABG $ 的面积分别为 $ S_{△ EFG} $，$ S_{△ ABG} $，则 $ S_{△ EFG}:S_{△ ABG} = $(
D
)
A.$ 1:2 $
B.$ 1:3 $
C.$ 4:9 $
D.$ 1:4 $
答案：13. D
∵CE:EF:FD=1:2:1，
∴CD=CE+EF+FD=2EF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=2EF，AB//CD，
∴△EFG∽△ABG，
∴$\frac{S_{△EFG}}{S_{△ABG}}=(\frac{EF}{AB})^2=\frac{1}{4}$.故选D.
14. 「2025 江苏宜兴外国语学校月考，★☆」如图，已知平面直角坐标系 $ xOy $ 中，$ \mathrm{Rt} △ OAB $ 的直角顶点 $ B $ 在 $ x $ 轴的正半轴上，点 $ A $ 在第一象限，反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象交 $ OA $ 于点 $ C $，交 $ AB $ 于点 $ D $，连接 $ CD $，$ OD $，若 $ OC:AC = 3:4 $，$ △ ACD $ 的面积是 8，则 $ k $ 的值为(
A
)
A.$ \frac{63}{10} $
B.$ \frac{20}{3} $
C.$ \frac{36}{5} $
D.$ \frac{69}{5} $
答案：14. A 如图，过点C作CE⊥x轴于点E，则CE//AB，
∴△COE∽△AOB，
∴$\frac{S_{△COE}}{S_{△AOB}}=(\frac{OC}{OA})^2$，
∵OC:AC=3:4，
∴OC:OA=3:7，S_{△COD}:S_{△ACD}=3:4，
∴$\frac{S_{△COE}}{S_{△AOB}}=\frac{9}{49}$，即S_{△AOB}=$\frac{49}{9}$S_{△COE}，
∵△ACD的面积是8，
∴S_{△COD}=6，
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$(x＞0)的图象交OA于点C，交AB于点D，
∴S_{△OCE}=S_{△OBD}=$\frac{1}{2}$k，
∵S_{△BOD}+S_{△AOD}=S_{△AOB}，
∴$\frac{1}{2}$k+6+8=$\frac{49}{9}$×$\frac{1}{2}$k，解得k=$\frac{63}{10}$.故选A.
15. 「2025 北京北师大实验中学开学测试，★☆」如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AD // BC $，对角线 $ AC $，$ BD $ 交于点 $ E $。若 $ \frac{AE}{CE} = \frac{1}{3} $，$ S_{△ AED} = 2 $，则四边形 $ ABCD $ 的面积为
32
。
答案：15. 答案 32
解析 【解法一】
∵AD//BC，
∴△ADE∽△CBE，
∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{△CBE}}=(\frac{AE}{CE})^2=\frac{1}{9}$，
∵S_{△AED}=2，
∴S_{△CBE}=18.
∵AE:CE=1:3，
∴S_{△ABE}=$\frac{1}{3}$S_{△BCE}=6，易得S_{△CDE}=S_{△ABE}=6，
∴S_{四边形ABCD}=S_{△ADE}+S_{△AEB}+S_{△BCE}+S_{△CDE}=2+6+18+6=32.
【解法二】
∵AE:EC=1:3，
∴AE:AC=1:4，
∵S_{△AED}=2，
∴S_{△ACD}=4S_{△AED}=8，
∵AD//BC，
∴S_{△ABD}=S_{△ACD}=8，
∴S_{△ABE}=S_{△ABD}−S_{△AED}=6，
∵AE:AC=1:4，
∴S_{△ABC}=4S_{△ABE}=24，
∴S_{四边形ABCD}=S_{△ACD}+S_{△ACB}=8+24=32.
16. 「2025 甘肃张掖模拟，★☆」如图，点 $ A $ 为反比例函数 $ y = -\frac{1}{x}(x ＜ 0) $ 图象上的一点，连接 $ AO $，过点 $ O $ 作 $ OA $ 的垂线，与反比例函数 $ y = \frac{4}{x}(x ＞ 0) $ 的图象交于点 $ B $，则 $ \frac{BO}{AO} $ 的值是
2
。
答案：16. 答案 2
解析 如图，过点A作AG⊥x轴，垂足为G，过点B作BH⊥x轴，垂足为H，
∵点A在函数y=−$\frac{1}{x}$(x＜0)的图象上，
∴S_{△AGO}=$\frac{1}{2}$，
∵点B在反比例函数y=$\frac{4}{x}$(x＞0)的图象上，
∴S_{△BOH}=2，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOG+∠BOH=90°，
∵∠AGO=90°，
∴∠GAO+∠AOG=90°，
∴∠GAO=∠BOH，又∠AGO=∠OHB=90°，
∴△AGO∽△OHB，
∴$\frac{S_{△OHB}}{S_{△AGO}}=(\frac{BO}{AO})^2=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4$，
∴$\frac{BO}{AO}=2$.
17. 如图，已知四边形 $ ABCD $ 为平行四边形，过点 $ C $ 分别作 $ AD $，$ AB $ 的垂线，交边 $ AD $，$ AB $ 的延长线于点 $ E $，$ F $。
(1) 求证：$ △ CDE ∽ △ CBF $。
(2) 求证：$ AD · DE = AB · BF $。
(3) 连接 $ AC $，如果 $ \frac{CF}{DE} = \frac{AC}{CD} $，求证：$ \frac{AC^2}{BC^2} = \frac{AF}{BF} $。
答案：17. 证明 (1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD//AB，AD//BC，
∴∠CDE=∠DAB，∠CBF=∠DAB，
∴∠CDE=∠CBF.
∵CE⊥AE，CF⊥AF，
∴∠CED=∠CFB=90°，
∴△CDE∽△CBF.
(2)
∵△CDE∽△CBF，
∴$\frac{CD}{DE}=\frac{BC}{BF}$.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，CD=AB，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AD}{BF}$，
∴AD·DE=AB·BF.
(3)如图，
∵$\frac{CF}{DE}=\frac{AC}{CD}$，∠CED=∠CFA=90°，
∴Rt△ACF∽Rt△CDE，
又
∵△CBF∽△CDE，
∴△ACF∽△CBF，
∴$\frac{S_{△ACF}}{S_{△CBF}}=(\frac{AC}{BC})^2=\frac{AC^2}{BC^2}$，
∵△ACF的边AF上的高与△CBF的边BF上的高相等，
∴$\frac{S_{△ACF}}{S_{△CBF}}=\frac{AF}{BF}$，
∴$\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{AF}{BF}$.
