答案：9. C　由折叠的性质知AE=EF=8−3=5。在Rt△BEF 中,EF=5,BE=3,
∴BF=4。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠A=90°,
∴∠EFD=∠A=90°,∠EFB+∠BEF=90°,
∴∠EFB+∠DFC=90°,
∴∠BEF=∠DFC,
∴△BEF∽△CFD,
∴BE:CF=BF:CD,即3:CF=4:8,
∴CF=6,
∴BC=BF+CF=4+6=10。故选C。

答案：
10. C
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=AC,
∵AD=BE=CF,
∴BD=CE=AF,易证△ADF≌△BED≌△CFE(SAS),
∴DE=EF=DF,
∴△DEF是等边三角形。
由DE⊥BC,∠B=60°,易得DE=$\sqrt{3}$BE,BD=2BE,
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$。
∵△ABC是等边三角形，
∴△DEF∽△ABC,
∴$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{AB})^{2}=\frac{1}{3}$。
故选C。
模型解读　一线三等角模型:有三个等角的顶点在同一条直线上的基本几何图形,如图,在△ABC中,D,E,F 分别在AB,BC,AC上,且∠DEF=∠B=∠C,则△BDE ∽△CEF;特殊地,当等角为90°时,也称作“K”字型。

答案：
11. 答案　$2\sqrt{3}$
解析　如图,过点E作EH⊥BC于点H,设CD=x,
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=4+x,∠B=∠C=60°,
∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD,且∠ADE=∠B=60°,
∴∠CDE=∠BAD,
∴△CDE∽△BAD,
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{CE}{BD}$,即$\frac{x}{4+x}$=$\frac{2}{4}$,解得x=4,即CD=4,在Rt△CEH中,
∵∠C=60°,
∴CH=$\frac{1}{2}$CE=1,
∴EH=$\sqrt{3}$CH=$\sqrt{3}$,
∴△CDE的面积=$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{3}$=$2\sqrt{3}$

答案：
12. 答案　$\sqrt{5}$
解析
∵∠ACB=∠AED=90°,∠ABC=∠ADE,
∴△ABC∽△ADE,
∴$\frac{AC}{AE}$=$\frac{AB}{AD}$,∠BAC=∠DAE,
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AB}{AC}$,∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,
∴∠CAE=∠BAD,
∴△BAD∽△CAE,
∴$\frac{BD}{CE}$=$\frac{AB}{AC}$,
∵AC:BC=1:2,
∴BC=2AC,在Rt△ABC中,AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$=$\sqrt{AC^{2}+(2AC)^{2}}$=$\sqrt{5}$AC,
∴$\frac{BD}{CE}$=$\frac{AB}{AC}$=$\sqrt{5}$
模型解读　一对对应角顶点重合的两个相似三角形组成手拉手相似模型，如图，△ADE∽△ABC,则△ABD ∽△ACE。

答案：
13. 答案　$\sqrt{10}$
解析　如图,过点C作CE⊥CD,且CE=2CD=2√2,连接AE,DE,
∴DE=$\sqrt{CE^{2}+CD^{2}}$=$\sqrt{10}$,
∵∠ECD=∠BCA=90°,
∴∠ECA=∠BCD,又
∵$\frac{CE}{CD}$=$\frac{AC}{BC}$=2,
∴△ACE∽△BCD,
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{CE}{CD}$=2,
∴AE=2BD,
∵AE≤AD+DE,
∴当点D在线段AE上时,AE有最大值，即BD有最大值，
∴BD的最大值为$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{10}}{2}$=$\sqrt{10}$

答案：
14. 解析　(1)证明:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$BC,∠ABC=45°,
∵△BMN是等腰直角三角形，
∴BM=$\sqrt{2}$BN,∠MBN=45°=∠ABC,
∴∠ABM=∠CBN,又
∵$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BM}{BN}$=$\sqrt{2}$,
∴△ABM∽△CBN,
∴$\frac{AM}{CN}$=$\sqrt{2}$,即AM=$\sqrt{2}$CN;
(2)如图,过点N作NH⊥AC,交AC的延长线于H,
∵△ABM∽△CBN,
∴∠BCN=∠BAC=45°,
∴∠NCH=45°,
∴NH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CN=$\frac{1}{2}$AM,
∴△CMN的面积=$\frac{1}{2}$CM·NH=$\frac{1}{2}$CM·$\frac{1}{2}$(4−CM)=−$\frac{1}{4}$(CM−2)²+1,
∴当CM=2时,△CMN的面积取得最大值，为1,
∴△CMN面积的最大值为1。