答案：
1. C
∵F是AE的中点，
∴AF=EF，如图，过点F作FG//AC交BC于点G，
∴$\frac{EG}{CG}=\frac{EF}{AF}=1$，
∴EC=2EG=2CG，
∴BE=2EC=4EG=4CG，
∴BG=5CG，
∵FG//AC，
∴$\frac{DF}{BF}=\frac{CG}{BG}=\frac{1}{5}$。故选C。

方法解读 1.已知一组线段的比且需要转化比时，可考虑作平行线构造“A”字型或“8”字型相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例进行转化。
2.作平行线构造相似三角形的两种常见思路：（1）由比例式作平行线；（2）有中点时，构造中位线。

答案：
2. 解析 （1）如图，过点A作AH//BC交CE的延长线于点H，
∴∠HAB=∠B，∠H=∠BCE，
∵∠ACE=∠BCE=∠B，
∴∠ACE=∠H=∠HAB，BE=CE，
∴AH=AC，EA=EH，
∴CH=CE+HE=BE+EA=AB=2，
∵AD⊥CE，
∴CF=HF=$\frac{1}{2}$CH=1。

（2）
∵EF=3x，CF=8x，
∴CE=EF+CF=11x，由（1）可知CF=HF=8x，
∴HE=HF−EF=8x−3x=5x，
∵AD⊥CE，
∴∠AFC=∠DFC=90°，在△AFC和△DFC中，$\begin{cases}∠AFC=∠DFC=90°，\\CF=CF，\\∠ACE=∠BCE，\end{cases}$
∴△AFC≌△DFC(ASA)，
∴AC=CD，
∴AH=AC=CD，
∵AH//BC，
∴△AHE∽△BCE，
∴$\frac{AH}{BC}=\frac{HE}{CE}=\frac{5x}{11x}=\frac{5}{11}$。设AH=5k，则BC=11k，CD=AH=5k，
∴BD=BC−CD=11k−5k=6k，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{6k}{5k}=\frac{6}{5}$。

答案：
3. 答案 6
解析 如图，过点P作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R。
∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
∴AC=10。
∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，
∴四边形PQBR是矩形，
∴∠QPR=90°=∠MPN，
∴∠QPE=∠RPF，
∴△QPE∽△RPF，
∴$\frac{PQ}{PR}=\frac{PE}{PF}=2$，
∴PQ=2PR=2BQ，易知PQ//BC，
∴△AQP∽△ABC，
∴AQ:QP:AP=AB:BC:AC=3:4:5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，
∴2x+3x=6，
∴x=$\frac{6}{5}$，
∴AP=5x=6。

答案：
4. 解析 （1）证明：
∵AB=AC=10cm，
∴∠B=∠C，
∵∠APM+∠CPM=∠APC=∠B+∠BAP，∠APM=∠B，
∴∠CPM=∠BAP，
∴△CPM∽△BAP。
（2）由题意可知∠C≠90°，
∴有以下两种情况：
①当∠PMC=90°时，如图，

由（1）知△CPM∽△BAP，
∴∠APB=∠PMC=90°，
∵AB=AC，
∴点P为BC的中点，
∴BP=CP=$\frac{1}{2}$BC=8(cm)，
∴AP=$\sqrt{AB^{2}-BP^{2}}$=6(cm)；
②当∠CPM=90°时，如图，

过点A作AD⊥BC于点D，由（1）知△CPM∽△BAP，
∴∠BAP=∠CPM=90°。
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=8(cm)，由勾股定理得AD=6cm。
∵∠BAP=∠BDA=90°，∠ABP=∠DBA，
∴△ABP∽△DBA，
∴$\frac{AP}{DA}=\frac{AB}{DB}$，
∴AP=$\frac{AB·AD}{BD}=\frac{15}{2}$(cm)。
综上所述，线段AP的长度为6cm或$\frac{15}{2}$cm。