答案：
解析　（1）证明：
∵∠AOB = 90°，∠AOD + ∠BOC = 180°，
∴∠DOC = 360° - ∠AOB - (∠AOD + ∠BOC) = 90°，
∴∠AOB = ∠DOC，
在△AOB和△DOC中，$\{\begin{array}{l} OA = OD,\\ ∠AOB = ∠DOC,\\ OB = OC,\end{array} $
∴△AOB≌△DOC(SAS)，
∴AB = CD。
（2）①
∵∠AOD + ∠BOC = 180°，
∴∠DOC + ∠AOB = 180°，
∵∠OED = ∠AOB，
∴∠DOC + ∠OED = 180°，
∵∠OEC + ∠OED = 180°，
∴∠OEC = ∠DOC，
又
∵∠ECO = ∠OCD，
∴△ECO∽△OCD，
∴$\frac{EC}{CO}=\frac{CO}{CD}$，
∴$CO^{2}=EC· CD$，
∵E为CD的中点，
∴$EC = \frac{1}{2}CD$，
∴$CO^{2}=\frac{1}{2}CD^{2}$，
∴$\frac{OC}{CD}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
②【证法一】比例的性质：
由①得，$\frac{OC}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵OC = OB，$DE = \frac{1}{2}CD$，
∴$\frac{OB}{DE}=\frac{OC}{\frac{1}{2}CD}=\sqrt{2}$，
∵△OCD∽△ECO，
∴$\frac{OD}{OE}=\frac{CD}{OC}=\sqrt{2}$，
∵OA = OD，
∴$\frac{OA}{OE}=\sqrt{2}$，
∴$\frac{OA}{OE}=\frac{OB}{DE}$，
又
∵∠AOB = ∠OED，
∴△AOB∽△OED，
∴$\frac{AB}{OD}=\frac{OA}{OE}$，
∵OA = OD，
∴$\frac{AB}{OD}=\frac{OD}{OE}$，
∴$\frac{AB}{OD}=\frac{CD}{OC}$，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{OD}{OC}$。
【证法二】倍长中线法：
如图，延长OE至点F，使EF = EO，连接CF，DF：

∵E为CD的中点，
∴CE = DE，
∴四边形FDOC是平行四边形，
∴DF = OC = OB，CO//DF，
∴∠FDC = ∠OCD，
∵△ECO∽△OCD，
∴∠EDO = ∠EOC，
∵∠ODF = ∠FDC + ∠EDO，∠DEO = ∠OCD + ∠EOC，
∴∠ODF = ∠DEO = ∠AOB，
在△ODF和△AOB中，
$\{\begin{array}{l} DF = OB,\\ ∠ODF = ∠AOB,\\ OD = AO,\end{array} $
∴△ODF≌△AOB(SAS)，
∴∠DOF = ∠OAB，AB = OF，
又
∵∠OED = ∠AOB，
∴△OED∽△AOB，
∴$\frac{OE}{AO}=\frac{ED}{OB}$，
∵$OE = \frac{1}{2}OF = \frac{1}{2}AB$，$ED = \frac{1}{2}CD$，OA = OD，OB = OC，
∴$\frac{\frac{1}{2}AB}{OD}=\frac{\frac{1}{2}CD}{OC}$，即$\frac{AB}{OD}=\frac{CD}{OC}$，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{OD}{OC}$。

答案：
解析　【初识模型】证明：
∵CD = CE，
∴∠EDC = ∠DEC，
∴∠ADB = ∠CEA，
∵∠BAD = ∠ACE，
∴△ABD∽△CAE。
【尝试应用】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BD = 2OB，AB//CD，
∵BD = 2BE，
∴OB = BE，
∴∠OEB = ∠EOB，
∴∠BEC = ∠COD。
∵∠CBE = ∠DCO，
∴△CBE∽△DCO。
∴$\frac{BE}{CO}=\frac{CE}{DO}$，设CE = x，
∵BD = 12，OE = 5，
∴BE = BO = DO = 6，CO = x + 5，
∴$\frac{6}{x + 5}=\frac{x}{6}$，解得x = 4(负值已舍)，
∴CE = 4，
∴AO = CO = 9，AC = 18。
∵AB//CD，
∴∠CAB = ∠DCO = ∠CBE，
∵∠ECB = ∠BCA，
∴△CEB∽△CBA，
∴$\frac{CB}{CA}=\frac{CE}{CB}=\frac{BE}{BA}$，即$\frac{CB}{18}=\frac{4}{CB}=\frac{6}{AB}$，
解得$AB = 9\sqrt{2}$，
即AB的长为$9\sqrt{2}$。
【拓展提升】$2\sqrt{15}$
详解：
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，即∠BOC = 90°，
∵E为BC的中点，
∴OE = CE，
∴∠EOC = ∠ECO，
如图，延长AF交BC的延长线于点G，

∴∠AOE = ∠GCA。
∵∠AEO = ∠CAF，
∴△AEO∽△GAC。
设CE = EO = y，则BC = AD = 2y，
∵AD//BG，
∴△ADF∽△GCF，
∴$\frac{AD}{CG}=\frac{DF}{CF}=\frac{5}{3}$，
∴$CG = \frac{6y}{5}$，
由△AEO∽△GAC可得$\frac{AO}{GC}=\frac{EO}{AC}$，
∵AC = 6，
∴AO = 3，
∴$\frac{3}{\frac{6y}{5}}=\frac{y}{6}$，解得$y = \sqrt{15}$(负值已舍)，
∴2y = $2\sqrt{15}$，即菱形ABCD的边长为$2\sqrt{15}$。