1. 「2025 山西运城一模」《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，这里“偃矩”可以看作两条边呈直角的曲尺(即图中的 $ ABC $)。“偃矩以望高”的意思是利用“偃矩”可测量物体的高度。如图，点 $ A $，$ B $，$ Q $ 在同一水平线上，$ ∠ ABC $ 和 $ ∠ AQP $ 均为直角，$ AP $ 与 $ BC $ 相交于点 $ D $，测得 $ AB = 40 \mathrm{ cm} $，$ BD = 20 \mathrm{ cm} $，$ BQ = 11.6 \mathrm{ m} $，则树高 $ PQ $ 为(
B
)
A.$ 5.8 \mathrm{ m} $
B.$ 6 \mathrm{ m} $
C.$ 6.8 \mathrm{ m} $
D.$ 25.8 \mathrm{ m} $
答案：1. B
∵∠ABC = ∠AQP = 90°, ∠A = ∠A,
∴△ABD∽△AQP,
∴$\frac{PQ}{BD}$ = $\frac{AQ}{AB}$,
∵AB = 40cm, BD = 20cm, BQ = 11.6m = 1160cm,
∴$\frac{PQ}{20}$ = $\frac{40 + 1160}{40}$,
∴PQ = 600cm = 6m. 故选 B.
2. 跨物理光的反射「2025 河北模拟」如图，小涵为了测量一凉亭的高度 $ AB $(顶端 $ A $ 到水平地面 $ BD $ 的距离)，把一面镜子放置在水平地面 $ E $ 处(镜子厚度忽略不计)，她站在离镜子 $ 2 $ 米的 $ D $ 点处(即 $ DE = 2 $ 米)刚好从镜子中看到凉亭的顶端 $ A $，测得 $ BD $ 的长为 $ 12 $ 米，若小涵眼睛离地面的高度为 $ 1.6 $ 米(即 $ CD = 1.6 $ 米)，则凉亭的高度 $ AB $ 为(
D
)
A.$ 9.6 $ 米
B.$ 10 $ 米
C.$ 7.2 $ 米
D.$ 8 $ 米
答案：2. D 由题意得 BE = BD - DE = 10 米, ∠AEB = ∠CED, DE = 2 米, CD = 1.6 米, 又
∵∠EDC = ∠ABE = 90°,
∴△CDE∽△ABE,
∴$\frac{CD}{AB}$ = $\frac{DE}{BE}$,
∴$\frac{1.6}{AB}$ = $\frac{2}{10}$,
∴AB = 8 米, 即凉亭的高度 AB 为 8 米. 故选 D.
3. 跨物理小孔成像「2025 湖南长沙岳麓三模」据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光沿直线传播的原理。小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔 $ O $，物体 $ AB $ 在幕布上形成倒立的实像 $ CD $(点 $ A $，$ B $ 的对应点分别是 $ C $，$ D $)。若物体 $ AB $ 的高度为 $ 12 \mathrm{ cm} $，实像 $ CD $ 的高度为 $ 4 \mathrm{ cm} $，则小孔 $ O $ 的高度 $ OE $ 为
3
$ \mathrm{cm} $。
答案：3. 答案 3
解析
∵AB⊥BC, OE⊥BC, CD⊥BC,
∴AB//OE//CD,
∴△CDO∽△ABO, △CEO∽△CBA,
∴$\frac{CD}{AB}$ = $\frac{CO}{AO}$, $\frac{OE}{AB}$ = $\frac{CO}{AC}$,
∴$\frac{4}{12}$ = $\frac{CO}{AO}$,
∴$\frac{CO}{AC}$ = $\frac{1}{4}$,
∴$\frac{OE}{AB}$ = $\frac{1}{4}$,
∴OE = $\frac{1}{4}$AB = 3cm.
4. 「2025 河南南阳邓州期中」为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点 $ A $，再在河的这一边选定点 $ B $ 和 $ C $，使 $ AB ⊥ BC $，然后再选定点 $ E $，使 $ EC ⊥ BC $，$ BC $ 与 $ AE $ 交于点 $ D $。此时测得 $ BD = 80 \mathrm{ m} $，$ DC = 40 \mathrm{ m} $，$ EC = 36 \mathrm{ m} $，则河两岸间的距离 $ AB $ 为(
A
)
A.$ 72 \mathrm{ m} $
B.$ 84 \mathrm{ m} $
C.$ 88 \mathrm{ m} $
D.$ 92 \mathrm{ m} $
答案：4. A 由题意得 ∠ABC = ∠C = 90°,
∵∠ADB = ∠CDE,
∴△ADB∽△EDC,
∴$\frac{AB}{EC}$ = $\frac{BD}{CD}$,
∴$\frac{AB}{36}$ = $\frac{80}{40}$,
∴AB = 72m. 故选 A.
5. 新考向数学文化「2025 江苏江阴文林中学月考」在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何。”大意为：如图，四边形 $ DEFG $ 是一座正方形小城，北门 $ H $ 是 $ DG $ 的中点，南门 $ K $ 是 $ EF $ 的中点，出北门 $ 20 $ 步到 $ A $ 处有一树木，出南门 $ 14 $ 步到 $ C $，再向西行 $ 1775 $ 步到 $ B $ 处，正好看到 $ A $ 处的树木(即点 $ D $ 在直线 $ AB $ 上)，求小城的边长。
答案：5. 解析 设小城的边长为 x 步, 根据题意, 知 Rt△AHD∽Rt△ACB,
∴$\frac{AH}{AC}$ = $\frac{DH}{BC}$, 即 $\frac{20}{20 + 14 + x}$ = $\frac{0.5x}{1775}$, 整理得 x² + 34x - 71000 = 0, 解得 x₁ = 250, x₂ = -284(不合题意, 舍去), 经检验, x = 250 为原方程的解, 且符合题意,
∴小城的边长为 250 步.
