6. 「2025 河北唐山路南三模，★☆」如图，在大树 $ AB $ 的右侧有三个台阶 $ T_1 ∼ T_3 $，每个台阶的高、宽分别是 $ 0.2 \mathrm{ m} $ 和 $ 0.4 \mathrm{ m} $。某一时刻，测得台阶在地面上的影子 $ DE = 0.45 \mathrm{ m} $，此时树梢顶点 $ A $ 的影子落在台阶 $ T_2 $ 上(包含两个端点)。已知大树 $ AB $ 的底部到台阶的距离 $ BC = 1.9 \mathrm{ m} $，则大树 $ AB $ 的高度可能是(
C
)
A.$ 3 \mathrm{ m} $
B.$ 3.4 \mathrm{ m} $
C.$ 3.8 \mathrm{ m} $
D.$ 4.2 \mathrm{ m} $
答案：6. C 如图, 当顶点 A 的影子落在点 Q 处时, 过点 Q 作 QR⊥BE 于 R, QS⊥AB 于 S, 则四边形 BRQS 是矩形,
∴BS = QR = 0.2 × 2 = 0.4(m), 由题意得 PD = 0.2 × 3 = 0.6(m), RC = 0.4m,
∴SQ = BR = BC + RC = 1.9 + 0.4 = 2.3(m), 易得 △ASQ∽△PDE,
∴$\frac{AS}{PD}$ = $\frac{SQ}{DE}$, 即 $\frac{AS}{0.6}$ = $\frac{2.3}{0.45}$,
∴AS ≈ 3.07(m),
∴AB = AS + BS = 3.07 + 0.4 = 3.47(m). 同理, 当顶点 A 的影子落在点 G 处时, 求得 AS = 3.6m,
∴AB = 4m. 综上所述, 大树 AB 高度的取值范围为 3.47m ≤ AB ≤ 4m, 故选 C.
7. 「2025 山东东营一模，★☆」如图，工人师傅将一块锐角三角形的铁片通过切割加工成矩形铁片，已知 $ △ ABC $ 的底边长 $ BC = 60 \mathrm{ cm} $，高 $ AD = 40 \mathrm{ cm} $，矩形铁片的一边在 $ BC $ 边上，点 $ P $，$ Q $ 分别在 $ AB $，$ AC $ 边上，若满足 $ PQ : PN = 7 : 2 $，则矩形铁片 $ PQMN $ 的面积为
504
$ \mathrm{cm}^2 $。
答案：7. 答案 504
解析 如图, 设 PQ 与 AD 的交点为 E,
∵PQ : PN = 7 : 2,
∴设 PQ = 7kcm, 则 PN = 2kcm,
∵四边形 PQMN 为矩形,
∴PQ//BC,
∴△APQ∽△ABC,
∵AD⊥BC, PQ//BC,
∴AD⊥PQ,
∴$\frac{PQ}{BC}$ = $\frac{AE}{AD}$,
∴$\frac{7k}{60}$ = $\frac{40 - 2k}{40}$, 解得 k = 6,
∴PQ = 42cm, PN = 12cm,
∴矩形铁片 PQMN 的面积为 12 × 42 = 504(cm²).
8. 「2024 江苏南通模拟，★☆」《海岛算经》中记载：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直，从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合。从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合。问岛高几何。”其大意是：如图，为了求海岛上的山峰 $ AB $ 的高度，在 $ D $ 处和 $ F $ 处竖立高都是 $ 3 $ 丈 $ ( 1 \mathrm{ 丈} = \dfrac{5}{3} \mathrm{ 步} ) $ 的标杆 $ CD $ 和 $ EF $，$ D $，$ F $ 相隔 $ 1000 $ 步，并且 $ AB $，$ CD $ 和 $ EF $ 在同一平面内，从 $ D $ 处后退 $ 123 $ 步到 $ G $ 处时，$ A $，$ C $，$ G $ 在一条直线上；从 $ F $ 处后退 $ 127 $ 步到 $ H $ 处时，$ A $，$ E $，$ H $ 在一条直线上，则山峰 $ AB $ 的高度为
1255
步。
答案：8. 答案 1255
解析 根据题意得 CD = EF = 5 步, DF = 1000 步, DG = 123 步, FH = 127 步,
∵CD//AB,
∴△GCD∽△GAB,
∴$\frac{CD}{AB}$ = $\frac{GD}{GB}$, 即 $\frac{5}{AB}$ = $\frac{123}{123 + BD}$ ①,
∵EF//AB,
∴△HEF∽△HAB,
∴$\frac{EF}{AB}$ = $\frac{HF}{HB}$, 即 $\frac{5}{AB}$ = $\frac{127}{127 + 1000 + BD}$ ②, 由 ①② 得 $\frac{123}{123 + BD}$ = $\frac{127}{127 + 1000 + BD}$, 解得 BD = 30750(步), 代入 ① 可得 AB = 1255 步, 即山峰 AB 的高度为 1255 步.
9. 新考向现实情境「2025 湖南长沙模拟，★☆」如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在 $ C $ 处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的 $ A $ 处驶来($ CM ⊥ DM $，$ BD ⊥ DM $，$ BC $ 与 $ DM $ 相交于点 $ O $)，已知 $ OM = 4 $ 米，$ CO = 5 $ 米，$ DO = 3 $ 米，$ AO = \sqrt{73} $ 米，则汽车从 $ A $ 处前行的距离 $ AB = $
5.75
米时，才能发现 $ C $ 处的儿童。
答案：9. 答案 5.75
解析 在 Rt△CMO 中, MO = 4 米, CO = 5 米,
∴CM = $\sqrt{CO^{2} - MO^{2}}$ = $\sqrt{5^{2} - 4^{2}}$ = 3 米,
∵∠BOD = ∠MOC, ∠BDO = ∠CMO = 90°,
∴△BDO∽△CMO,
∴$\frac{BD}{CM}$ = $\frac{DO}{MO}$,
∴$\frac{BD}{3}$ = $\frac{3}{4}$,
∴BD = 2.25 米, 在 Rt△AOD 中, OA = $\sqrt{73}$ 米,
∴AD = $\sqrt{OA^{2} - OD^{2}}$ = 8 米,
∴AB = AD - BD = 8 - 2.25 = 5.75(米),
∴汽车从 A 处前行 5.75 米时, 才能发现 C 处的儿童.
10. 「2025 江苏无锡金桥双语实验学校月考，★☆」小明利用数学课所学知识测量学校门口路灯的高度。如图，$ AB $ 为路灯主杆，$ AE $ 为路灯的悬臂，$ CD $ 是长为 $ 1.8 $ 米的标杆。已知路灯悬臂 $ AE $ 与地面 $ BG $ 平行，当标杆竖立于地面时，路灯主杆顶端 $ A $、标杆顶端 $ D $ 和地面上一点 $ G $ 在同一直线上，此时小明发现路灯 $ E $、标杆顶端 $ D $ 和地面上另一点 $ F $ 也在同一条直线上（路灯主杆底端 $ B $、标杆底端 $ C $ 和地面上点 $ F $、点 $ G $ 在同一水平线上）。这时小明测得 $ FG $ 长 $ 1.5 $ 米，路灯的正下方 $ H $ 到路灯主杆底端 $ B $ 的距离为 $ 3 $ 米。请根据以上信息，求出路灯主杆 $ AB $ 的高度。
答案：10. 解析 如图, 过点 D 作 DM⊥AB 于 M, 交 EH 于点 N,
∵AE//BG, AB⊥BG,
∴AE⊥AB,
∵DM⊥AB,
∴AE//MD//BG,
∴AM 的长等于 △ADE 的边 AE 上的高, CD 为 △DFG 的边 FG 上的高,
∵AB⊥BG, EH⊥BG, CD⊥BG,
∴AB//EH//CD,
∴AE = BH = 3 米, BM = CD = 1.8 米,
∵AE//BG,
∴△AED∽△GFD,
∴$\frac{AE}{GF}$ = $\frac{AM}{CD}$, 即 $\frac{3}{1.5}$ = $\frac{AM}{1.8}$,
∴AM = 3.6 米,
∴AB = AM + BM = 5.4 米. 答: 路灯主杆 AB 的高度为 5.4 米.
