答案：1. 解析
(1) 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
$\therefore AB = AD$，$∠ B = 90°$，$AD // BC$，
$\therefore ∠ AMB = ∠ EAF$，
$\because EF ⊥ AM$，$\therefore ∠ AFE = 90°$，
$\therefore ∠ B = ∠ AFE$，$\therefore △ ABM ∽ △ EFA$。
(2) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$AB = 8$，
$\therefore ∠ B = 90°$，$AD = AB = 8$，
$\because BM = 6$，$\therefore AM = \sqrt{AB^{2} + BM^{2}} = 10$，
$\because F$ 是 $AM$ 的中点，$\therefore AF = \frac{1}{2}AM = 5$，
$\because △ ABM ∽ △ EFA$，$\therefore \frac{BM}{FA} = \frac{MA}{AE}$，
即 $\frac{6}{5} = \frac{10}{AE}$，$\therefore AE = \frac{25}{3}$。

答案：2. 解析
(1) 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，$AC$ 是菱形的对角线，
$\therefore AB = CD = CB = AD$，$∠ DCP = ∠ BCP$，$AD // BC$，$CD // AB$，$\therefore ∠ CDP = ∠ F$，
在 $△ DCP$ 与 $△ BCP$ 中，$\begin{cases} CD = CB, \\ ∠ DCP = ∠ BCP, \\ CP = CP, \end{cases}$
$\therefore △ DCP ≌ △ BCP(SAS)$，$\therefore ∠ CDP = ∠ CBP$，
$\therefore ∠ CBP = ∠ F$，
又 $\because ∠ BPE = ∠ FPB$，$\therefore △ BPE ∽ △ FPB$，
$\therefore \frac{PB}{PF} = \frac{PE}{PB}$，$\therefore PB^{2} = PE · PF$。
(2) 由 (1) 得 $△ BPE ∽ △ FPB$，
$\therefore \frac{PB}{PF} = \frac{BE}{BF} = \frac{PE}{PB}$，
$\because PB = 2PE$，
$\therefore \frac{PB}{PF} = \frac{BE}{BF} = \frac{PE}{PB} = \frac{1}{2}$，$\therefore BF = 2BE$，
$\because AD // BC$，$\therefore △ BEF ∽ △ ADF$，
$\therefore \frac{BE}{AD} = \frac{BF}{AF}$，$\therefore \frac{BF}{BE} = \frac{AF}{AD}$，$\therefore AF = 2AD$，
$\because AB = AD = 6$，$\therefore AF = 2AD = 12$，
$\therefore BF = AF - AB = 6$。

答案：
3. 解析
(1) 证明：如图，

∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
$\therefore ∠ A = ∠ D = ∠ C = 90°$，$\therefore ∠ 1 + ∠ 3 = 90°$，
$\because E$，$F$ 分别在 $AD$，$BC$ 上，将矩形 $ABCD$ 沿 $EF$ 折叠，使点 $A$ 的对应点 $P$ 落在边 $CD$ 上，
$\therefore ∠ EPH = ∠ A = 90°$，$\therefore ∠ 1 + ∠ 2 = 90°$，
$\therefore ∠ 3 = ∠ 2$，$\therefore △ DEP ∽ △ CPH$。
(2) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
$\therefore CD = AB = 4$，$AD = BC = 5$，$∠ A = ∠ D = ∠ C = 90°$，
$\because P$ 为 $CD$ 的中点，$\therefore DP = CP = \frac{1}{2} × 4 = 2$，
设 $EP = AE = x$，$\therefore ED = AD - AE = 5 - x$，
在 $Rt △ EDP$ 中，$EP^{2} = ED^{2} + DP^{2}$，
即 $x^{2} = (5 - x)^{2} + 2^{2}$，解得 $x = \frac{29}{10}$，
$\therefore EP = AE = \frac{29}{10}$，$\therefore ED = \frac{21}{10}$，
$\because △ DEP ∽ △ CPH$，
$\therefore \frac{ED}{PC} = \frac{EP}{PH}$，即 $\frac{\frac{21}{10}}{2} = \frac{\frac{29}{10}}{PH}$，$\therefore PH = \frac{58}{21}$，
$\because PG = AB = 4$，$\therefore GH = PG - PH = \frac{26}{21}$。
(3) $AB = \sqrt{6}BG$。
详解：如图，延长 $AB$，$PG$ 交于点 $M$，连接 $AP$，

$\because E$，$F$ 分别在 $AD$，$BC$ 上，将矩形 $ABCD$ 沿 $EF$ 折叠，使点 $A$ 的对应点 $P$ 落在边 $CD$ 上，
$\therefore ∠ BAD = ∠ EPH = 90°$，$PG = AB$，$AP ⊥ EF$，$BG ⊥$ 直线 $EF$，
$\therefore BG // AP$，
$\because AE = EP$，$\therefore ∠ EAP = ∠ EPA$，
$\therefore ∠ BAP = ∠ GPA$，
$\therefore △ MAP$ 是等腰三角形，$MA = MP$，
$\because P$ 为 $CD$ 的中点，
$\therefore DP = CP$，设 $DP = CP = y$，
则 $AB = PG = CD = 2y$，
当 $H$ 为 $BC$ 的中点时，$BH = CH$，
$\because ∠ BHM = ∠ CHP$，$∠ MBH = ∠ PCH$，
$\therefore △ MBH ≌ △ PCH(ASA)$，
$\therefore BM = CP = y$，$HM = HP$，
$\therefore MP = MA = MB + AB = 3y$，
$\therefore HP = \frac{1}{2}PM = \frac{3}{2}y$，
在 $Rt △ PCH$ 中，$CH = \sqrt{PH^{2} - PC^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2}y$，
$\therefore BC = 2CH = \sqrt{5}y$，
$\therefore AD = BC = \sqrt{5}y$，
在 $Rt △ APD$ 中，$AP = \sqrt{AD^{2} + PD^{2}} = \sqrt{6}y$，
$\because BG // AP$，$\therefore △ BMG ∽ △ AMP$，
$\therefore \frac{BG}{AP} = \frac{BM}{AM} = \frac{1}{3}$，$\therefore BG = \frac{\sqrt{6}}{3}y$，
$\therefore \frac{AB}{BG} = \frac{2y}{\frac{\sqrt{6}}{3}y} = \sqrt{6}$，$\therefore AB = \sqrt{6}BG$。