1. 「2025浙江丽水龙泉二模」如图，在直角坐标系中，△OCD与△OAB是以原点O为位似中心的位似图形，相似比为3，则点A(2，-1)的对应点C的坐标为(
A
)
A.(-6，3)
B.(6，-3)
C.(-3，6)
D.(3，-6)
答案：1.A
∵△OCD与△OAB是以原点O为位似中心的位似图形，相似比为3,
∴点A(2,−1)的对应点C的坐标为(−3×2,−3×(−1)),即C(−6,3).故选A.
2. 学科特色易错题「2025河南商丘模拟」在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(-6，8)，(-4，0)。以原点O为位似中心，将△ABO的各边长缩小为原来的一半，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是
(−3,4)或(3,−4)
。
答案：2.答案 (−3,4)或(3,−4)
解析
∵将△ABO的各边长缩小为原来的一半,得到△CDO,点A的坐标为(−6,8),
∴点A的对应点C的坐标为$(-6×\frac {1}{2},8×\frac {1}{2})$或$(-6×(-\frac {1}{2}),8×(-\frac {1}{2}))$,即(−3,4)或(3,−4).
易错点 本题有位似图形的位似中心在同侧和异侧两种情况，易忽视横、纵坐标分别乘−k的情况(k为相似比).
3. 「2025云南楚雄州期末」如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(-2，2)，B(-4，0)，C(-4，-4)，以原点O为位似中心，△A'B'C'与△ABC位似，且相似比为1:2，其中点A'(1，-1)。
(1)在平面直角坐标系中画出△A'B'C'。
(2)写出B'，C'两点的坐标。
答案：3.解析 (1)如图,△A'B'C'即为所求.
(2)由(1)中的图形可得,B'(2,0),C'(2,2).
4. 「2025江苏连云港灌南一模，★☆」如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△DEF是位似图形，且斜边垂直于x轴，O为位似中心，∠ABC=∠DEF=90°，O，B，C，E，F五点共线，若$S_{△DEF}:S_{△ABC}=1:2$，点D的坐标为(-1，0)，则B点的坐标为(
B
)
A.(√{2}，0)
$
B.(\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2})$
C.(√{2}，√{2})
D.(2，2)
答案：4.B
∵D(−1,0),
∴OD=1,
∵等腰Rt△ABC与等腰Rt△DEF是位似图形,O为位似中心,$\therefore \frac {OD}{OA}=\frac {DE}{AB},△ABC∽ △DEF,\therefore \frac {S_{△DEF}}{S_{△ABC}}=(\frac {DE}{AB})^{2}=\frac {1}{2},\therefore \frac {DE}{AB}=\frac {1}{\sqrt {2}},\therefore \frac {OD}{OA}=\frac {1}{\sqrt {2}},\therefore OA=\sqrt {2},$
∵CA⊥x轴,O,B,C,E,F五点共线,
∴△OAC为等腰直角三角形,$\therefore AC=OA=\sqrt {2},\therefore C(\sqrt {2},\sqrt {2}),\because AB⊥OC,\therefore OB=BC,\therefore B(\frac {\sqrt {2}}{2},\frac {\sqrt {2}}{2}).$
故选B.
5. 学科特色多解法「★☆」如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB'C'是以点A为位似中心的位似图形，相似比为1:2，已知A(2，0)，C(a，b)，∠C=90°，则点C'的坐标为
(6−2a,−2b)
。(结果用含a，b的式子表示)
答案：5.答案 (6−2a,−2b)
解析 【解法一】如图,过C作CM⊥AB于M,过C'作C'N⊥AB于N,则∠ANC'=∠AMC=90°,
∵△ABC与△AB'C'的相似比为$1:2,\therefore \frac {AC}{AC'}=\frac {1}{2},\because ∠NAC'=∠CAM,\therefore △ACM∽ △AC'N,\therefore \frac {AM}{AN}=\frac {CM}{C'N}=\frac {AC}{AC'},$
∵A(2,0),C(a,b),
∴OA=2,OM=a,CM=b,
∴AM=a−2,$\therefore \frac {a-2}{AN}=\frac {b}{C'N}=\frac {1}{2},\therefore AN=2a-4,C'N=2b,\therefore ON=AN-OA=2a-6$,
∴点C'的坐标为(6−2a,−2b).
【解法二】将△ABC与△AB'C'向左平移2个单位长度，使得点A与原点重合，则平移后点C的坐标为(a−2,b),
∵△ABC与△AB'C'的相似比为1:2,点A是位似中心，
∴平移后点C'的坐标为(4−2a,−2b),再将△ABC与△AB'C'向右平移2个单位长度回到原位置，则点C'的坐标为(6−2a,−2b).
6. 新课标推理能力如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1。在第二象限内，将矩形AOCB的各边以原点O为位似中心放大为原来的$\frac{3}{2}$倍，得到矩形A₁OC₁B₁，再将矩形A₁OC₁B₁的各边以原点O为位似中心放大为原来的$\frac{3}{2}$倍，得到矩形A₂OC₂B₂，……，以此类推，得到的矩形AₙOCₙBₙ的对角线交点的坐标为
$(-\frac {3^{n}}{2^{n}},\frac {3^{n}}{2^{n+1}})$
。
答案：6.答案$(-\frac {3^{n}}{2^{n}},\frac {3^{n}}{2^{n+1}})$
解析 由题意得,矩形$A_{1}OC_{1}B_{1}$与矩形AOCB是位似图形,点B与点$B_{1}$是对应点,
∵OA=2,OC=1,
∴点B的坐标为(-2,1),
∴点$B_{1}$的坐标为$(-2×\frac {3}{2},1×\frac {3}{2})$,同理可得,$B_{2}(-2×\frac {3}{2}×\frac {3}{2},1×\frac {3}{2}×\frac {3}{2}),...... $
$\therefore B_{n}(-2×\frac {3^{n}}{2^{n}},1×\frac {3^{n}}{2^{n}}),$
∴矩形$A_{n}OC_{n}B_{n}$的对角线交点的坐标为$(-2×\frac {3^{n}}{2^{n}}×\frac {1}{2},1×\frac {3^{n}}{2^{n}}×\frac {1}{2})$,即$(-\frac {3^{n}}{2^{n}},\frac {3^{n}}{2^{n+1}}).$
