答案：
1.B　　如图,连接AE,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∵AB=AC,
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=$2\sqrt{3}$,
∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADE=180°,
∵∠ADE+∠CDE=180°,
∴∠B=∠CDE,又
∵∠C=∠C,
∴△CDE∽△CBA,
∴$\frac{CD}{CB}$=$\frac{CE}{CA}$,
∴$\frac{CD}{4\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{8}$,解得CD=3.故选B.
　　　　　　　　

答案：
2.解析　(1)证明:如图，连接OC,
　　　　　　　　
∵DG=DC,
∴∠DGC=∠DCG,
∵∠DGC=∠AGF,
∴∠DCG=∠AGF,
∵DF⊥AB,
∴∠AFG=90°,
∴∠A+∠AGF=90°,
∵OC=OA,
∴∠A=∠ACO,
∴∠DCG+∠ACO=90°,即∠DCO=90°,
∵OC是⊙O的半径,
∴DE是⊙O的切线.
　(2)由(1)知,∠OCE=90°,
∵OC=6,CE=8,
∴OE=$\sqrt{OC^{2}+CE^{2}}$=10,
∵OA=6,点F为线段OA的中点，
∴OF=$\frac{1}{2}$OA=3,
∴EF=13,
∵∠DFE=∠OCE=90°,∠E=∠E,
∴△OCE∽△DFE,
∴$\frac{CE}{EF}$=$\frac{OC}{DF}$,
∴$\frac{8}{13}$=$\frac{6}{DF}$,
∴DF=$\frac{39}{4}$.

答案：
3.答案　$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
　解析　如图,连接OD,作DL⊥AB于点L,CF⊥AB于点F,则DL//CF,
∴△DEL∽△CEF,
∴$\frac{DE}{CE}$=$\frac{DL}{CF}$,
∵CF为定值,
∴当DL的值最大时,$\frac{DL}{CF}$的值最大,此时$\frac{DE}{CE}$的值最大,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵AB=2,∠ABC=30°,
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=1,
∴BC=$\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$=$\sqrt{2^{2}-1^{2}}$=$\sqrt{3}$,
∵$S_{△ABC}$=$\frac{1}{2}$×2CF=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$,
∴CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∵DL≤OD,且OD=$\frac{1}{2}$AB=1,
∴DL≤1,
∴$DL_{最大}$=1,
∵当DL=1时,$\frac{DE}{CE}$=$\frac{DL}{CF}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴$\frac{DE}{CE}$的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
　　　　　　　　

答案：
4.证明　(1)连接CE,如图,
　　　　　　　
∵$\overset{\LARGE{\frown}}{AC}$=$\overset{\LARGE{\frown}}{CE}$,
∴∠AEC=∠FAC,
∵$\overset{\LARGE{\frown}}{AC}$=$\overset{\LARGE{\frown}}{AC}$,
∴∠AEC=∠ADC,
∴∠FAC=∠ADC,
∵CG⊥AD,
∴∠AGC=90°,
∴∠ADC=90°−∠DCG,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACG=90°−∠DCG,
∴∠ACG=∠ADC,
∴∠FAC=∠ACG.
　(2)
∵∠AGC=∠ACB=90°,∠BAC=∠ACG,
∴△AGC∽△BCA,
∴$\frac{GC}{CA}$=$\frac{AG}{BC}$.

答案：
5.证明　(1)如图,连接OD,
　　　　　
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°,OA=OB,
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠BCD,
∴$\overset{\LARGE{\frown}}{AD}$=$\overset{\LARGE{\frown}}{BD}$,
∴OD⊥AB,
∴∠AOD=90°,
∵DP//AB,
∴∠ODP=90°,即OD⊥DP,
∵OD是⊙O的半径,
∴DP是⊙O的切线.
　(2)
∵DP//AB,
∴∠CBA=∠P,
∵$\overset{\LARGE{\frown}}{AC}$=$\overset{\LARGE{\frown}}{AC}$,
∴∠CBA=∠CDA,
∴∠CDA=∠P,
∵四边形ACBD内接于⊙O,
∴∠CAD=∠DBP,
∴△ACD∽△BDP,
∴$\frac{BD}{AC}$=$\frac{BP}{AD}$,
∴BD·AD=AC·BP,
∵AD=BD,
∴$BD^{2}$=AC·BP.