9. 学科 易错题 「2025 安徽芜湖二模，★☆☆」关于反比例函数 $ y = -\dfrac{3}{x} $，下列说法正确的是(
)
A.图象与直线 $ y = x $ 没有交点
B.$ y $ 随着 $ x $ 的增大而增大
C.图象位于第一、三象限
D.图象经过点 $ (a,a + 4) $，则 $ a = -1 $
答案：解：
逐一分析各选项：
选项A：联立$\begin{cases} y = -\dfrac{3}{x} \\ y = x \end{cases}$，得$x = -\dfrac{3}{x}$，两边乘$x$（$x≠0$）得$x^2=-3$，
因为实数的平方为非负数，方程无实数解，故两图象没有交点，A正确。
选项B：对于反比例函数$y = -\dfrac{3}{x}$，$k=-3＜0$，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大，
但在整个定义域内，$y$并非随$x$的增大而增大（如$x=-1$时$y=3$，$x=1$时$y=-3$，$x$增大，$y$减小），故B错误。
选项C：因为$k=-3＜0$，所以反比例函数$y = -\dfrac{3}{x}$的图象位于第二、四象限，故C错误。
选项D：将点$(a,a+4)$代入$y = -\dfrac{3}{x}$，得$a+4 = -\dfrac{3}{a}$，
两边乘$a$（$a≠0$）得$a(a+4)=-3$，整理得$a^2+4a+3=0$，
因式分解得$(a+1)(a+3)=0$，解得$a=-1$或$a=-3$，故D错误。
综上，正确答案是A。
10. 「2025 河北邢台信都二模，★☆☆」当 $ 2 ≤ x ≤ 3 $ 时，反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} $($ k ＞ 0 $)中 $ y $ 有最大值 $ m $，则当 $-4 ≤ x ≤ -2$ 时，反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} $($ k ＞ 0 $)中 $ y $ 有(
)
A.最大值，为 $ 2m $
B.最大值，为 $ \dfrac{1}{2}m $
C.最小值，为 $ -\dfrac{1}{2}m $
D.最大值，为 $ -\dfrac{1}{2}m $
答案：解：
∵$k＞0$，反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$在第一象限内y随x的增大而减小，
当$2 ≤ x ≤ 3$时，x=2时y取得最大值$m$，
∴$m=\dfrac{k}{2}$，解得$k=2m$。
∵$k＞0$，反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$在第三象限内y随x的增大而减小，
当$-4 ≤ x ≤ -2$时，x=-4时y取得最大值，
将$k=2m$，$x=-4$代入$y=\dfrac{k}{x}$得：
$y=\dfrac{2m}{-4}=-\dfrac{1}{2}m$。
∴当$-4 ≤ x ≤ -2$时，反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$中y有最大值，为$-\dfrac{1}{2}m$，故选D。
11. 「2024 北京中考，★☆☆」在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，若函数 $ y = \dfrac{k}{x} $($ k ≠ 0 $)的图象经过点 $ (3,y_1) $ 和 $ (-3,y_2) $，则 $ y_1 + y_2 $ 的值是
.
答案：解：
将点$(3, y_1)$代入$y = \dfrac{k}{x}$，得
$y_1 = \dfrac{k}{3}$
将点$(-3, y_2)$代入$y = \dfrac{k}{x}$，得
$y_2 = \dfrac{k}{-3} = -\dfrac{k}{3}$
则$y_1 + y_2 = \dfrac{k}{3} + (-\dfrac{k}{3}) = 0$
12. 「2025 北京海淀模拟，★☆☆」在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，反比例函数 $ y_1 = \dfrac{1}{x} $($ x ＞ 0 $)和 $ y_2 = \dfrac{k}{x} $($ x ＞ 0 $)的图象如图所示，$ k $ 的值可以是
.(写出一个即可)
答案：解：
解析 如图,在反比例函数$y_{2}=\frac {k}{x}(x＞0)$的图象上取
一点A,过点A作x轴的垂线,与反比例函数$y_{1}=\frac {1}{x}$
$(x＞0)$的图象交于点B,设垂线与x轴的交点坐标为
$(m,0),$
当$x=m$时,A,B的坐标分别为$(m,\frac {k}{m}),(m,\frac {1}{m}),$
$\therefore \frac {k}{m}＞\frac {1}{m},\because m＞0,\therefore k＞1,\therefore k$的值可以是2(答案不唯一).
13. 「2025 甘肃兰州模拟，★☆☆」如图，在直角坐标系中，大正方形的中心在原点 $ O $ 处，且大正方形的一组对边与 $ x $ 轴平行，若大正方形的边长是 $ 2 $，则图中阴影部分的面积等于
.
答案：解：
因为大正方形的中心在原点，边长为2，
所以大正方形被坐标轴分割成四个边长为1的小正方形，每个小正方形的面积为$1×1=1$。
根据反比例函数图象的中心对称性，第一象限的阴影部分与第三象限的空白部分面积相等，
因此阴影部分的总面积为1。
14. 学科 易错题 「2025 江苏南京建邺二模，★☆☆」已知反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} $($ k $ 为常数，$ k ≠ 0 $)，当 $ 1 ≤ x ≤ 2 $ 时，$ y $ 的最大值与最小值的差为 $ 2 $，则 $ k = $
.
答案：解：分两种情况讨论：
1. 当$ k ＞ 0 $时，反比例函数$ y = \dfrac{k}{x} $在$ x ＞ 0 $时，$ y $随$ x $的增大而减小，
则当$ x = 1 $时，$ y $取最大值$ k $；当$ x = 2 $时，$ y $取最小值$ \dfrac{k}{2} $。
由题意得：$ k - \dfrac{k}{2} = 2 $，
解得$ k = 4 $。
2. 当$ k ＜ 0 $时，反比例函数$ y = \dfrac{k}{x} $在$ x ＞ 0 $时，$ y $随$ x $的增大而增大，
则当$ x = 1 $时，$ y $取最小值$ k $；当$ x = 2 $时，$ y $取最大值$ \dfrac{k}{2} $。
由题意得：$ \dfrac{k}{2} - k = 2 $，
解得$ k = -4 $。
综上，$ k = 4 $或$ k = -4 $。
15. 新课标 几何直观 「2025 江苏扬州一模」如图，在正方形网格上建立直角坐标系，$ x $ 轴、$ y $ 轴都在网格线上，其中 $ 1 $ 格代表 $ 1 $ 个单位长度. 反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} $($ k ＞ 0 $，$ x ＞ 0 $)的图象被撕掉了一部分，已知点 $ M $，$ N $ 在格点上，则 $ k = $
.
答案：解：
由图可知，点$M$的坐标为$(1,4)$。
因为点$M$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，
所以$k=1×4=4$。
1. 「2025 天津中考」若点 $ A(-3,y_1) $，$ B(1,y_2) $，$ C(3,y_3) $ 都在反比例函数 $ y = -\dfrac{9}{x} $ 的图象上，则 $ y_1 $，$ y_2 $，$ y_3 $ 的大小关系是(
)
A.$ y_1 ＜ y_2 ＜ y_3 $
B.$ y_3 ＜ y_2 ＜ y_1 $
C.$ y_1 ＜ y_3 ＜ y_2 $
D.$ y_2 ＜ y_3 ＜ y_1 $
答案：D
解析：
1. 将各点横坐标代入反比例函数$y = -\dfrac{9}{x}$，计算得：
$y_1 = -\dfrac{9}{-3}=3$，$y_2 = -\dfrac{9}{1}=-9$，$y_3 = -\dfrac{9}{3}=-3$；
2. 比较大小：$-9 ＜ -3 ＜ 3$，即$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
2. 「2025 陕西西安碑林模拟」已知点 $ M(m,a) $，$ N(m + 2,b) $ 在反比例函数 $ y = \dfrac{m^2 + 1}{x} $ 的图象上，若 $-2 ＜ m ＜ 0 $，则 $ a \_\_\_\_\_\_ b $(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”).
答案：解：
∵ $m^2 ≥ 0$，
∴ $m^2 + 1 ＞ 0$，
∴ 反比例函数$y = \dfrac{m^2 + 1}{x}$的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵ $-2 ＜ m ＜ 0$，
∴ $m ＜ 0$，$m + 2 ＞ 0$，
∴ 点$M(m,a)$在第三象限，故$a ＜ 0$；
点$N(m + 2,b)$在第一象限，故$b ＞ 0$，
∴ $a ＜ b$。
3. 「2025 江苏苏州姑苏二模」若点 $ A(x_1,-3) $，$ B(x_2,2) $，$ C(x_3,3) $ 都在反比例函数 $ y = \dfrac{-k^2 - 1}{x} $ 的图象上，则 $ x_1 $，$ x_2 $，$ x_3 $ 的大小关系为
.
答案：解：
∵ $ k^2 ≥ 0 $，
∴ $ -k^2 - 1 = -(k^2 + 1) ＜ 0 $，
∴ 反比例函数 $ y = \dfrac{-k^2 - 1}{x} $ 的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。
∵ 点 $ A(x_1,-3) $ 的纵坐标为负，
∴ 点 $ A $ 在第四象限，故 $ x_1 ＞ 0 $；
∵ 点 $ B(x_2,2) $、$ C(x_3,3) $ 的纵坐标为正，
∴ 点 $ B $、$ C $ 在第二象限，故 $ x_2 ＜ 0 $，$ x_3 ＜ 0 $。
∵ 在第二象限内，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，且 $ 3 ＞ 2 $，
∴ $ x_3 ＞ x_2 $。
又∵ $ x_1 ＞ 0 $，$ x_2 $、$ x_3 ＜ 0 $，
∴ $ x_2 ＜ x_3 ＜ x_1 $。
