1. 「2025河南新乡原阳期中」如图，已知点$A$为反比例函数$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$图象上一点，过点$A$作$x$轴的垂线交$x$轴于点$B$，$C$为$y$轴上一点，则$△ ABC$的面积为(
A
)
A.3
B.4
C.6
D.8
答案：1.A 如图，连接$OA$，$\because AB⊥ x$轴，$\therefore AB// OC$，$\therefore S_{△ OAB}=S_{△ CAB}$，$\because S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2}|k|=\dfrac{1}{2}× 6=3$，$\therefore S_{△ ABC}=3$.故选A.
2. 「2025山东聊城一模」如图，在平面直角坐标系中，$\mathrm{Rt}△ ABO$的直角边$AB$与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象交于点$C$，若点$C$为$AB$的中点，$△ ABO$的面积为4，则$k$的值为(
A
)
A.4
B.3
C.2
D.1
答案：2.A $\because C$为$AB$的中点，$\therefore AC=BC=\dfrac{1}{2}AB$，$\therefore S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}S_{△ AOB}=2$，$\therefore \dfrac{1}{2}|k|=2$，即$|k|=4$，$\because$图象在第一象限，$\therefore k＞0$，$\therefore k=4$.故选A.
3. 「2025陕西咸阳永寿模拟」如图，菱形$OABC$的顶点$O$是原点，顶点$B$在$y$轴上，反比例函数$y=\dfrac{10}{x}(x＞0)$的图象经过顶点$A$，则菱形的面积为
20
.
答案：3.答案 20
解析 设菱形的对角线交于点$H$（图略），由菱形性质可得$AC⊥ OB$，$S_{△ BHA}=S_{△ BHC}=S_{△ CHO}=S_{△ AHO}$. $\because$反比例函数$y=\dfrac{10}{x}(x＞0)$的图象经过顶点$A$，$\therefore S_{△ AHO}=\dfrac{1}{2}|k|=5$，$\therefore S_{\mathrm{菱形}OABC}=4× 5=20$.
4. 「2025广东湛江雷州三模」如图，一次函数$y_1=k_1x+b$与反比例函数$y_2=\dfrac{k_2}{x}$的图象相交于$A$，$B$两点，点$A$的横坐标为2，点$B$的横坐标为$-1$，则关于$x$的不等式$k_1x+b＜\dfrac{k_2}{x}$的解集是(
A
)
A.$-1＜x＜0$或$x＞2$
B.$x＜-1$或$0＜x＜2$
C.$x＜-1$或$x＞2$
D.$-1＜x＜2$
答案：4.A 由题中图象可得，当$-1＜ x＜0$或$x＞2$时，一次函数$y_{1}=k_{1}x+b$的图象在反比例函数$y_{2}=\dfrac{k_{2}}{x}$的图象的下方，$\therefore$不等式的解集为$-1＜ x＜0$或$x＞2$，故选A.
5. 「2024四川甘孜州中考」如图，在平面直角坐标系$xOy$中，已知$A(2,3)$，$B(m,-2)$两点在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上.
(1)求$k$与$m$的值.
(2)连接$BO$并延长，交反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象于点$C$.若一次函数的图象经过$A$，$C$两点，求这个一次函数的解析式.
]
答案：5.解析 (1)$\because A(2,3)$，$B(m,-2)$两点在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，$\therefore k=2× 3=m× (-2)$，$\therefore k=6$，$m=-3$.
(2)由(1)可知点$B(-3,-2)$，根据反比例函数图象的中心对称性可得点$C(3,2)$，设直线$AC$的解析式为$y=ax+b(a≠ 0)$，则$\begin{cases}2a+b=3, \\3a+b=2, \end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1, \\b=5, \end{cases}$ $\therefore$直线$AC$的解析式为$y=-x+5$.
6. 「2024四川泸州中考，★☆」已知关于$x$的一元二次方程$x^2+2x+1-k=0$无实数根，则函数$y=kx$与函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象交点个数为(
A
)
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：6.A $\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x+1-k=0$无实数根，$\therefore \Delta =4-4(1-k)＜0$，解得$k＜0$，$\therefore$函数$y=kx$的图象经过第二、四象限，$\because$函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象分布在第一、三象限，$\therefore$两个函数图象没有交点.故选A.
7. 「2025河北石家庄四十八中期中，★☆」若下列各选项的图中的双曲线解析式均为$y=\dfrac{6}{x}$，则阴影部分面积为12的是(
D
)
答案：7.D $\because$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$图象上任取一点，过这个点向$x$轴和$y$轴分别作垂线，两条垂线与两坐标轴围成的矩形的面积是定值$|k|$，$\therefore$A中阴影部分的面积为6，不符合题意；B中阴影部分的面积为3，不符合题意；C中阴影部分的面积为6，不符合题意；D中两个小三角形的面积和为6，矩形的面积为6，故阴影部分的面积为12，符合题意.故选D.
8. 「2025江苏南京郑和外国语学校开学测试，★☆」如图，双曲线$y=\dfrac{12}{x}(x＞0)$经过$A$，$B$两点，连接$OA$，$AB$，过点$B$作$BD⊥ y$轴，垂足为$D$，$BD$交$OA$于点$E$，且$E$为$AO$的中点，则$△ AEB$的面积是(
A
)
A.4.5
B.3.5
C.3
D.2.5
答案：8.A 如图，在$y$轴上截取$DM=OD$，连接$AM$，$OB$，$\because E$是$OA$的中点，$\therefore DE$是$△ OAM$的中位线，$\therefore DE// AM$，且$DE=\dfrac{1}{2}AM$，$\therefore AM⊥ y$轴，$\therefore S_{△ AOM}=S_{△ OBD}=\dfrac{1}{2}|k|=\dfrac{1}{2}× 12=6$，$\therefore \dfrac{1}{2}AM· OM=\dfrac{1}{2}OD· BD=6$，$OM=2OD$，$\therefore BD=2AM$，$\therefore DE=\dfrac{1}{2}AM=\dfrac{1}{4}BD$，$\therefore DE=\dfrac{1}{3}BE$，$S_{△ ODE}=\dfrac{1}{4}S_{△ BOD}=\dfrac{1}{4}× 6=\dfrac{3}{2}$.又$\because E$是$OA$的中点，$\therefore S_{△ ABE}=S_{△ OBE}=3S_{△ ODE}=3× \dfrac{3}{2}=4.5$.故选A.
