2026年5年中考3年模拟九年级数学下册人教版第43页解析答案——零五网—

11. 「2025福建福州一模，★☆」如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接PO并延长，交⊙O于点C，D，连接AD，BD，若CD = 12，PA = 8，则cos ∠ADB的值为(

)

A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$

答案：
11.A　如图,连接OA,OB,由题意可得OA⊥AP,PA=PB,∠APD=∠BPD,
∵PD=PD,
∴△APD≌△BPD,
∴∠ADP=∠BDP,即∠ADB=2∠ADC,
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}$,
∴∠AOC=2∠ADC,
∴∠AOC=∠ADB,
∵CD=12,
∴OA=OC=6,
∴在Rt△OAP中,OP=$\sqrt{OA²+AP²}$=$\sqrt{6²+8²}$=10,
∴cos∠ADB=cos∠AOP=$\frac{OA}{OP}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$.故选A.
　　　　　　　

12. 「2025河南安阳期末，★☆」如图，在Rt△ABC中，AC = BC = $\sqrt{2}$，点D在AB的延长线上，且CD = AB，则cos D的值是(

)

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案：
12.B　如图,过点C作CE⊥AB于点E,
　在Rt△ABC中,AC=BC=$\sqrt{2}$,
∴　∠A=∠CBA=45°,AB=$\sqrt{AC²+BC²}$=$\sqrt{(\sqrt{2})²+(\sqrt{2})²}$=2,
∴CD=AB=2,AE=BE=CE=$\frac{1}{2}$AB=1,
∴在Rt△CED中,ED=$\sqrt{CD²−CE²}$=$\sqrt{2²−1²}$=$\sqrt{3}$,
∴cosD=$\frac{ED}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.故选B.
　　　　　　

13. 「2025广东中考，★☆」如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG。若AB = 8，BC = 12，则tan ∠GCF的值是(

)

A.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
D.$\frac{2}{3}$

答案：
13.B　如图,过点G作GM⊥BC于点M,
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B=∠BCD=90°,
∵点E,F是BC的三等分点，
∴BE=EF=CF=$\frac{1}{3}$BC=4,
∴BF=BE+EF=8,
∵AB=BF=8,
∴△ABF是等腰直角三角形,
∴∠BFA=45°.同理可得△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CED=45°,
∴∠BFA=∠CED=45°,
∴△GEF是等腰直角三角形,
∵GM⊥EF,
∴GM=EM=FM=$\frac{1}{2}$EF=2,
∴CM=CF+MF=4+2=6,
∴在Rt△GMC 中,tan∠GCF=$\frac{GM}{CM}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$.故选B.
　　　　　　　

14. 「★☆」如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC : BC = 1 : 2，连接AC，过点O作OP // AB交AC的延长线于P。若P(1,1)，则tan ∠OAP的值是(

)

A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

C.$\frac{1}{3}$
D.3

答案：
14.C　如图,过点P作PQ⊥x轴于点Q,
∵OP//AB,
∴△OCP∽△BCA,
∴CP:AC=OC:BC=1:2,
∵∠AOC=∠AQP=90°,
∴CO//PQ,
∴OQ:AO=CP:AC=1:2,
∵P(1,1),
∴PQ=OQ=1,
∴AO=2,
∴tan∠OAP=$\frac{PQ}{AQ}$=$\frac{1}{2 + 1}$=$\frac{1}{3}$.故选C.
　　　　　　　　

15. 「2025福建福州华伦中学一模，★☆」四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则tan α的值为

$\frac{4}{3}$

。

答案：
15.答案　$\frac{4}{3}$
　解析　如图,作A'H⊥B'C'于H,由题意得BC·AB=5,B'C'·A'H=4,
∴$\frac{B'C'·A'H}{BC·AB}$=$\frac{4}{5}$,
∴$\frac{A'H}{AB}$=$\frac{4}{5}$,令A'H=4x,则A'B'=AB=5x,
∴B'H=3x,
∴tanα=$\frac{A'H}{B'H}$=$\frac{4}{3}$
　　

16. 新【实践探究】如图1，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 2，BC = 1，求tan $\frac{1}{2}$∠BAC的值。
小邕构造了包含$\frac{1}{2}$∠BAC的直角三角形：延长CA到点D，使DA = AB，连接BD，可得∠D = $\frac{1}{2}$∠BAC，问题即转化为求∠D的正切值，请按小邕的思路求tan $\frac{1}{2}$∠BAC的值。
【拓展延伸】如图2，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 3，tan A = $\frac{1}{3}$，求tan 2∠A的值。

答案：
16.解析　[实践探究]在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,
∴AB=$\sqrt{AC²+BC²}$=$\sqrt{2²+1²}$=$\sqrt{5}$,
　则AD=AB=$\sqrt{5}$,
∴CD=AD+AC=$\sqrt{5}$+2,
∴tan$\frac{1}{2}$∠BAC=tanD=$\frac{BC}{CD}$=$\frac{1}{\sqrt{5}+2}$=$\sqrt{5}$−2.
[拓展延伸]如图,作AB的垂直平分线交AC于E,连接BE,则AE=BE,
∴∠A=∠ABE,
∴∠BEC=2∠A,
　在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{3}$,
∴BC=1,
　设AE=BE=x,则EC=3−x,
　在Rt△EBC中,x²=(3−x)²+1²,解得x=$\frac{5}{3}$,
∴EC=$\frac{4}{3}$,
∴tan2∠A=tan∠BEC=$\frac{BC}{CE}$=$\frac{3}{4}$.
　　　　　　　