12. [2025 湖南长沙雨花二模] 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$都是锐角，$\sin A=\frac {\sqrt {3}}{2}$，$\tan B=\sqrt {3}$，下列说法正确的是()

A.$∠ A=30^{\circ }$
B.$∠ B=30^{\circ }$
C.$△ ABC$是等边三角形
D.$△ ABC$是直角三角形

13. [2025 山东淄博期末] 如图，在边长为 1 的正方形网格中，AB 与 CD 相交于点 P，则$\cos ∠ CPB$的值为()

A.$\frac {2\sqrt {2}}{3}$
B.$\frac {\sqrt {5}}{3}$
C.$\frac {\sqrt {3}}{2}$
D.$\frac {\sqrt {2}}{2}$

14. [2025 四川乐山五通桥模拟] 如图，AB 为半圆 O 的直径，点 C 为半圆上一点，且$\tan ∠ CAB=\sqrt {3}$。①以点 B 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 AB，BC 于 D，E；②分别以 D，E 为圆心，大于$\frac {1}{2}DE$的长为半径作弧，两弧交于点 P；③作射线 BP。则$∠ ABP$的大小为°。

15. 七巧板是我国一款传统的益智玩具，能够启迪智慧，陶冶情操。七巧板是由五块含$45^{\circ }$角的直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成的。某同学利用图 1 中七巧板的部分图形拼成图 2 中的图形。若$∠ 1=2∠ 2=90^{\circ }$，则$\cos ∠ 3$的值为。

16. 定义一种运算：
$\sin (α +β )=\sin α \cos β +\cos α \sin β $，
$\sin (α -β )=\sin α \cos β -\cos α \sin β $。
例如：当$α =45^{\circ }$，$β =30^{\circ }$时，$\sin (45^{\circ }+30^{\circ })=\frac {\sqrt {2}}{2}× \frac {\sqrt {3}}{2}+\frac {\sqrt {2}}{2}× \frac {1}{2}=\frac {\sqrt {6}+\sqrt {2}}{4}$，则$\sin 15^{\circ }$的值为。

17. 我们知道：$\sin 30^{\circ }=\frac {1}{2}$，$\cos 30^{\circ }=\frac {\sqrt {3}}{2}$，可得$\sin ^{2}30^{\circ }+\cos ^{2}30^{\circ }=\frac {1}{4}+\frac {3}{4}=1$，那么对于任意的锐角 A，是否都有$\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1$呢？
(1) 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ }$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别为 a，b，c，可得$\sin A=\frac {a}{c}$，$\cos A=\frac {b}{c}$，证明：$\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1$。
(2) 若$\sin A=\frac {\sqrt {2}}{3}$，利用（1）的结论求$\cos A$的值。
(3) 用以上探究的方法你能得出$\sin A$，$\cos A$，$\tan A$三者之间的关系吗？请写出答案。