1. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AB = 4$，$AC = 3$，欲求$∠ A$的值，最适宜的做法是(
C
)
A.计算$\tan A$的值求出$∠ A$
B.计算$\sin A$的值求出$∠ A$
C.计算$\cos A$的值求出$∠ A$
D.先根据$\sin B$求出$∠ B$，再利用$90° - ∠ B$求出$∠ A$
答案：1. C
∵在Rt△ABC中,∠C = 90°,AB = 4,AC = 3,
∴cosA = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{3}{4}$,由cosA的值能直接求出∠A的度数。sinA = $\frac{BC}{AB}$,tanA = $\frac{BC}{AC}$,都需要先利用勾股定理求出BC的长,再求出∠A的度数,较为麻烦。先根据sinB = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{3}{4}$求出∠B的度数,再利用90°−∠B求出∠A的度数，此做法也比直接计算cosA的值求∠A的度数麻烦。
∴欲求∠A的度数，最适宜的做法是计算cosA的值求出∠A。故选C。
2. 「2025天津河西模拟」在$△ ABC$中，若$∠ C = 90°$，$∠ B = 20°$，$AC = 5$，则$AB$的长度为(
C
)
A.$5\sin 20°$
B.$5\tan 20°$
C.$\frac{5}{\sin 20°}$
D.$\frac{5}{\cos 20°}$
答案：2. C
∵∠C = 90°,∠B = 20°,AC = 5,sinB = $\frac{AC}{AB}$,
∴AB = $\frac{AC}{sinB}$ = $\frac{5}{sin20°}$。故选C。
3. 「2025广东东莞模拟」如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AB = 2\sqrt{3}$，$\tan ∠ ABC = \frac{\sqrt{3}}{3}$，则$AC$的长为
√3
.
答案：3. 答案 √3
解析 由题意知,tan∠ABC = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴令AC = $\sqrt{3}$x，则BC = 3x。在Rt△ABC中,AC² + BC² = AB²,即($\sqrt{3}$x)² + (3x)² = (2$\sqrt{3}$)²,解得x = 1(舍负),
∴AC = $\sqrt{3}$
4. 「2025江苏无锡滨湖期末」在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$a$，$b$，$c$分别为$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对的边，根据下列条件解直角三角形.
(1) 已知$∠ A = 45°$，$c = 6$，求$a$的值.
(2) 已知$a = \sqrt{6}$，$b = \sqrt{2}$，求$c$的值和$∠ B$的度数.
答案：4. 解析 (1)在Rt△ABC中,∠C = 90°,sinA = $\frac{a}{c}$
∵∠A = 45°,c = 6,
∴$\frac{a}{6}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴a = 3$\sqrt{2}$
(2)在Rt△ABC中,
∵∠C = 90°,a = $\sqrt{6}$,b = $\sqrt{2}$,
∴c = $\sqrt{(\sqrt{6})^{2} + (\sqrt{2})^{2}}$ = 2$\sqrt{2}$,tanB = $\frac{b}{a}$ = $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴∠B = 30°。
5. 「2025陕西西安灞桥三模」如图，在菱形$ABCD$中，$CE ⊥ AD$于点$E$，$\sin D = \frac{4}{5}$，$AE = 2$，则$AC$的长为(
D
)
A.8
B.$2\sqrt{10}$
C.$2\sqrt{13}$
D.$2\sqrt{5}$
答案：5. D 在Rt△CED中,
∵sinD = $\frac{CE}{CD}$ = $\frac{4}{5}$,
∴设EC = 4x,则CD = 5x,
∴由勾股定理可得ED = $\sqrt{(5x)^{2} - (4x)^{2}}$ = 3x,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD = CD,
即AE + ED = CD,
∴2 + 3x = 5x,解得x = 1,
∴EC = 4,
∴由勾股定理可得AC = $\sqrt{AE^{2} + EC^{2}}$ = $\sqrt{2^{2} + 4^{2}}$ = 2$\sqrt{5}$;故选D。
6. 「2025青海西宁一模」如图，在四边形$ABCD$中，$AD // BC$，$AC ⊥ AB$，$AD = CD$，$\cos ∠ DCA = \frac{4}{5}$，$BC = 10$，则$AB$的长是
6
.
答案：6. 答案 6
解析
∵AD = CD,
∴∠DAC = ∠DCA。
∵AD//BC,
∴∠DAC = ∠ACB,
∴∠ACB = ∠DCA,
∴cos∠ACB = cos∠DCA = $\frac{4}{5}$。在Rt△ABC中,cos∠ACB = $\frac{AC}{BC}$,
∴AC = BC·cos∠ACB = 10×$\frac{4}{5}$ = 8,
∴AB = $\sqrt{BC^{2} - AC^{2}}$ = $\sqrt{10^{2} - 8^{2}}$ = 6。
7. 新考向 实践操作题 将$45°$的$∠ AOB$按如图所示的方式放置在一把刻度尺上，顶点$O$与尺下沿的端点重合，$OA$与尺下沿重合，$OB$与尺上沿的交点$B$在尺上的读数为$2\ \mathrm{cm}$.若按相同的方式将$37°$的$∠ AOC$放置在该刻度尺上，则$OC$与尺上沿的交点$C$在尺上的读数是
2.7
$\mathrm{cm}$(结果精确到$0.1\ \mathrm{cm}$，参考数据：$\sin 37° \approx 0.60$，$\cos 37° \approx 0.80$，$\tan 37° \approx 0.75$).
答案：7. 答案 2.7
解析 如图,过点B作BD⊥OA于D,过点C作CE⊥OA于E,在△BOD中,∠BDO = 90°,∠DOB = 45°,
∴CE = BD = OD = 2cm,在△OCE中,∠COE = 37°,∠CEO = 90°,
∴tan37° = $\frac{CE}{OE}$≈0.75,
∴OE≈2.7cm,即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约是2.7cm。
8. 如图，$\odot O$的直径$AB$经过弦$CD$的中点$H$，若$\cos ∠ CDB = \frac{4}{5}$，$BD = 5$，则$\odot O$的半径为
$\frac{25}{6}$
.
答案：8. 答案 $\frac{25}{6}$
解析 如图，连接OD,
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H,
∴AB⊥CD,
∴∠OHD = ∠BHD = 90°。
∵cos∠CDB = $\frac{DH}{BD}$ = $\frac{4}{5}$,BD = 5,
∴DH = 4,
∴BH = 3。设OH = x,则OD = OB = x + 3,
∴在Rt△ODH中,由勾股定理,得x² + 4² = (x + 3)²,解得x = $\frac{7}{6}$,
∴OD = x + 3 = $\frac{7}{6}$ + 3 = $\frac{25}{6}$。
