1. 「2025 广西模拟」如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形 $ ABC $，其中 $ AB = AC $，$ ∠ ABC = α $，$ BC = 40 \mathrm{ cm} $，则高 $ AD $ 的长为 (
A
)
A.$ 20\tan α \mathrm{ cm} $
B.$ 40\tan α \mathrm{ cm} $
C.$ \dfrac{20}{\tan α} \mathrm{ cm} $
D.$ \dfrac{40}{\tan α} \mathrm{ cm} $
答案：1.A
∵AB=AC，AD⊥BC，BC=40cm，
∴BD=CD=1/2BC=20cm，在Rt△ABD中，tan∠ABD=AD/BD，
∴AD=BD·tanα=20tanαcm.故选A.
2. 「2025 湖北武汉江岸模拟」甲、乙两人约好一起去江边垂钓.如图，钓鱼竿 $ AC $ 的长为 $ 4 \mathrm{ m} $，露在水面上的渔线 $ BC $ 的长为 $ 2\sqrt{2} \mathrm{ m} $，把鱼竿 $ AC $ 逆时针转动 $ 15° $到 $ AC' $ 的位置，此时露在水面上的渔线 $ B'C' $ 的长度是
3.5
$ \mathrm{m} $.(精确到 $ 0.1 \mathrm{ m} $，参考数据：$ \sqrt{3} \approx 1.73 $)
答案：2.答案 3.5
解析 由题意得∠ABC=∠AB'C'=90°，∠CAC'=15°，AC=AC'=4m，在Rt△ABC中，BC=2√2m，
∴sin∠CAB=CB/AC=2√2/4=√2/2，
∴∠CAB=45°，
∴∠C'AB=∠C'AC+∠CAB=60°，
∴在Rt△AB'C'中，B'C'=AC'·sin60°=4×√3/2=2√3≈3.5(m)，
∴渔线B'C'的长度约为3.5m.
3. 「2025 上海中考」如图，某公司安装了一个人脸打卡器，$ AB $ 是高 $ 2.7 \mathrm{ m} $ 的门框，某人 $ CD $ 高 $ 1.8 \mathrm{ m} $，只有当 $ ∠ CAB = 53° $时，门才能打开，那么 $ BD $ 的长为
1.2m
.(参考数据：$ \sin 53° \approx 0.8 $，$ \cos 53° \approx 0.6 $，$ \tan 53° \approx 1.33 $，结果保留 $ 1 $ 位小数)
答案：3.答案 1.2m
解析 如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E.
易知四边形CDBE是矩形，
∴CD=BE=1.8m，BD=CE，
∴AE=AB - BE=2.7 - 1.8=0.9(m).
∵在Rt△ACE中，tan∠CAE=CE/AE，
∴BD=CE=AE·tan∠CAE≈0.9×1.33≈1.2(m)，
故答案为1.2m.
4. 「2025 吉林长春中考」如图，已知某山峰的海拔为 $ m $米，一位登山者到达海拔为 $ n $ 米的点 $ A $ 处，测得山峰顶端 $ B $ 的仰角为 $ α $，则 $ A $，$ B $ 两点之间的距离为 (
B
)
A.$ (m - n)\sin α $ 米
B.$ \dfrac{m - n}{\sin α} $ 米
C.$ (m - n)\cos α $ 米
D.$ \dfrac{m - n}{\cos α} $ 米
答案：4.B 由题意得，四边形ACDE是矩形，
∴CD=AE=n米，
∴BC=BD - CD=(m - n)米，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠BAC=α，
∴sin∠BAC=BC/AB，
∴AB=BC/sinα=(m - n)/sinα米，故选B.
5. 「2025 安徽中考」某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛.如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段 $ AB $ 和 $ CD $ 表示，彩带用线段 $ AD $ 表示.工作人员在点 $ A $ 处测得点 $ C $ 的俯角为 $ 23.8° $，测得点 $ D $ 的仰角为 $ 36.9° $.已知 $ AB = 13.20 \mathrm{ m} $，求 $ AD $ 的长(精确到 $ 0.1 \mathrm{ m} $).
参考数据：$ \sin 23.8° \approx 0.40 $，$ \cos 23.8° \approx 0.91 $，$ \tan 23.8° \approx 0.44 $，$ \sin 36.9° \approx 0.60 $，$ \cos 36.9° \approx 0.80 $，$ \tan 36.9° \approx 0.75 $.
答案：5.解析 如图，过点A作AE⊥CD，垂足为E，
由题意得四边形ABCE为矩形，
∴CE=AB=13.20m，
在Rt△ACE中，tan∠CAE=CE/AE，
∴AE=CE/tan∠CAE=13.20/tan23.8°≈13.20/0.44=30.00(m).
在Rt△ADE中，cos∠DAE=AE/AD，
∴AD=AE/cos∠DAE=30.00/cos36.9°≈30.00/0.80=37.5(m)，
故AD的长约为37.5m.
