9. 「2025 江西抚州临川一模」已知$∠ A$为锐角，且$\sin A = \frac{8}{17}$，则$\tan A$的值为
$\frac{8}{15}$
。
答案：9.答案 $\frac{8}{15}$
解析 由sinA = $\frac{a}{c}$ = $\frac{8}{17}$可设a = 8m,则c = 17m,如图,在Rt△ABC中,由a² + b² = c²得b = 15m.
∴tanA = $\frac{a}{b}$ = $\frac{8m}{15m}$ = $\frac{8}{15}$.
10. 「2025 山东烟台招远期中」如图，在四边形$ABCD$中，$∠ A = 90°$，$AB = 4$，$BC = 5$，对角线$BD$平分$∠ ABC$，$\cos∠ ABD = \frac{4}{5}$，则$△ BCD$的面积为
$\frac{15}{2}$
。
答案：10.答案 $\frac{15}{2}$
解析 如图,过点D作DE⊥BC,垂足为E,
∵BD平分∠ABC,∠A = 90°,
∴∠ABD = ∠CBD,AD = DE,
∵cos∠ABD = $\frac{4}{5}$,AB = 4,
∴BD = $\frac{AB}{\cos∠ABD}$ = 5,
∴AD = $\sqrt{BD^{2}-AB^{2}}$ = 3,
∴DE = 3,
∴S△BCD = $\frac{1}{2}$BC·DE = $\frac{1}{2}$×5×3 = $\frac{15}{2}$.
11. 「2025 湖北武汉江岸二模」某商场从安全和便利的角度出发，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高$AD$为$6$m，阶梯式自动扶梯的坡角$∠ ABD$为$30°$，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角$∠ ACB = 16°$，则改造后的自动扶梯增加的占地长度$BC$约为
10.3m
。(结果精确到$0.1$m，参考数据：$\sin 16° \approx 0.28$，$\cos 16° \approx 0.96$，$\tan 16° \approx 0.29$，$\sqrt{3} \approx 1.732$)
答案：11.答案 10.3m
解析 在Rt△ABD中,∠ABD = 30°,AD = 6m,
∴AB = 2AD = 12m,
∴BD = $\sqrt{12^{2}-6^{2}}$ = 6$\sqrt{3}$≈10.39(m),在Rt△ACD中,∠ACD = 16°,AD = 6m,
∴CD = $\frac{AD}{\tan 16°}$≈$\frac{6}{0.29}$≈20.69(m),则BC = CD - BD = 20.69 - 10.39 = 10.3(m),即改造后的自动扶梯增加的占地长度BC约为10.3m.
12. 「2024 江苏扬州中考」如图，已知两条平行线$l_1$、$l_2$，点$A$是$l_1$上的定点，$AB ⊥ l_2$于点$B$，点$C$、$D$分别是$l_1$、$l_2$上的动点，且满足$AC = BD$，连接$CD$交线段$AB$于点$E$，$BH ⊥ CD$于点$H$，连接$AH$，则当$∠ BAH$最大时，$\sin∠ BAH$的值为
$\frac{1}{3}$
。
答案：12.答案 $\frac{1}{3}$
解析
∵l₁//l₂,
∴∠ACE = ∠BDE,∠CAE = ∠DBE,
∵AC = BD,
∴△ACE≌△BDE,
∴AE = BE = $\frac{1}{2}$AB,
∵BH⊥CD,
∴∠BHE = 90°,
∴点H在以BE为直径的圆上运动,如图,取线段BE的中点O,以点O为圆心,OB的长为半径画圆,
则点H在⊙O上运动,
∴当AH与⊙O相切时,∠BAH最大,连接OH,
∴OH⊥AH,易得AO = AE + OE = 3OE,OH = OE,
∴sin∠BAH = $\frac{OH}{AO}$ = $\frac{OE}{3OE}$ = $\frac{1}{3}$.
三、解答题（共 40 分）
13. 「2025 天津河西月考」（10 分）计算：
（1）$2\sin 30° + \cos 30°\tan 60° + \sin^2 30° + \cos^2 30°$。
（2）$\cos^2 45 - \frac{\cos 60°}{1 - \sin 30°} + \tan^2 45°$。
答案：13.解析 (1)2sin30° + cos30°tan60° + sin²30° + cos²30° = 2×$\frac{1}{2}$ + $\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$ + ($\frac{1}{2}$)² + ($\frac{\sqrt{3}}{2}$)² = 1 + $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{7}{2}$.
(2)cos²45° - $\frac{\cos 60°}{1 - \sin 30°}$ + tan²45° = ($\frac{\sqrt{2}}{2}$)² - $\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}}$ + 1² = $\frac{1}{2}$ - 1 + 1 = $\frac{1}{2}$.
14. 「2025 浙江杭州建德模拟」（14 分）如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$，$∠ ACB$的平分线$CE$交$AB$于点$E$，$AC = 10$，$\sin∠ CAD = \frac{3}{5}$。
（1）求$AD$的长。
（2）求$\cos∠ ACE$的值。
答案：14.解析 (1)
∵AD⊥BC,
∴∠ADC = 90°.在Rt△ACD中,sin∠CAD = $\frac{CD}{AC}$,
∴$\frac{CD}{10}$ = $\frac{3}{5}$,
∴CD = 6,
∴AD = $\sqrt{10^{2}-6^{2}}$ = 8.
(2)如图,设AD与CE的交点为M,过点M作AC的垂线,垂足为N,
∵CE平分∠ACB,MD⊥CB,MN⊥AC,
∴MD = MN.
∵S△ACD = S△DCM + S△ACM,
∴$\frac{1}{2}$×6×8 = $\frac{1}{2}$×6DM + $\frac{1}{2}$×10MN,
∴MN = MD = 3,
∴MC = $\sqrt{3^{2}+6^{2}}$ = 3$\sqrt{5}$.在Rt△MCN中,CN = $\sqrt{(3\sqrt{5})^{2}-3^{2}}$ = 6,
∴cos∠ACE = $\frac{CN}{MC}$ = $\frac{6}{3\sqrt{5}}$ = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
15. 「2025 山东威海中考」（16 分）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度$AB$。测量方案如图所示：先从自家的阳台点$C$处测得大楼顶部点$B$的仰角$∠ 1$的度数，大楼底部点$A$的俯角$∠ 2$的度数，然后在点$C$正下方的点$D$处测得大楼顶部点$B$的仰角$∠ 3$的度数。若$∠ 1 = 45°$，$∠ 2 = 52°$，$∠ 3 = 65°$，$CD = 10$m，求大楼的高度$AB$（精确到$1$m）。
参考数据：$\sin 52° \approx 0.8$，$\cos 52° \approx 0.6$，$\tan 52° \approx 1.3$；$\sin 65° \approx 0.9$，$\cos 65° \approx 0.4$，$\tan 65° \approx 2.1$。
答案：15.解析 如图,过点C作CG⊥AB于G,过点D作DH⊥AB于H,
则四边形CDHG是矩形,
∴GH = CD = 10m,CG = DH,
∵∠1 = 45°,
∴CG = BG,设AH = xm,
∴AG = (x + 10)m,在Rt△ACG中,
∵∠2 = 52°,
∴CG = $\frac{AG}{\tan 52°}$≈$\frac{10 + x}{1.3}$m,
∴BG = CG = DH = $\frac{10 + x}{1.3}$m,
∴BH = BG + GH = ($\frac{10 + x}{1.3}$ + 10)m,在Rt△BDH中,∠3 = 65°,
∴tan65° = $\frac{BH}{DH}$ = $\frac{\frac{10 + x}{1.3}+10}{\frac{10 + x}{1.3}}$≈2.1,
∴x≈$\frac{20}{11}$,
∴AH≈1.8m,BH≈19.1m,
∴AB = BH + AH≈21m.答:大楼的高度AB约为21m.
