1. 「2025 天津滨海新区二模」$2\cos 60° - 1$的值等于(
B
)
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$\sqrt{2}$
答案：1.B 2cos60° - 1 = 2×$\frac{1}{2}$ - 1 = 0.故选B.
2. 「2025 安徽六安裕安期末」在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AC = 8$，$BC = 15$，则下列三角函数值正确的是(
B
)
A.$\sin A = \frac{8}{17}$
B.$\cos A = \frac{8}{17}$
C.$\tan A = \frac{8}{17}$
D.$\tan B = \frac{15}{8}$
答案：2.B
∵∠C = 90°,AC = 8,BC = 15,
∴AB = $\sqrt{15^{2}+8^{2}}$ = 17,
∴sinA = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{15}{17}$,cosA = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{8}{17}$,tanA = $\frac{BC}{AC}$ = $\frac{15}{8}$,tanB = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{8}{15}$,
∴A,C,D选项中的三角函数值错误,B选项中的三角函数值正确.故选B.
3. 「2025 山东烟台招远期中」利用科学计算器计算$\frac{1}{3}\cos 52°$，下列按键顺序正确的是(
A
)
A.
B.
C.
D.
答案：3.A 按键顺序正确的是选项A.故选A.
4. 「2025 山东德州齐河模拟」在$△ ABC$中，若$∠ A$，$∠ B$满足$\left|\cos A - \frac{\sqrt{3}}{2}\right| + (1 - \tan B)^2 = 0$，且$∠ A$，$∠ B$均为锐角，则$∠ C$的度数为(
D
)
A.$45°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$105°$
答案：4.D 由题意得cosA - $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 0,1 - tanB = 0,
∴cosA = $\frac{\sqrt{3}}{2}$,tanB = 1,
∴∠A = 30°,∠B = 45°,
∵∠A + ∠B + ∠C = 180°,
∴∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 45° = 105°.故选D.
5. 「2025 浙江杭州二模」如图，在$4×4$的网格中，每个小四边形都是边长相等的正方形，点$A$，$B$，$C$，$D$均在格点上，$AC$与$BD$相交于点$P$，则$\tan∠ APB$的值为(
B
)
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{3}$
答案：5.B 如图,将AC平移到ED的位置,连接BE,易知DE//AC,
∴∠APB = ∠EDB,设每个小正方形的边长为1,
∴BE = $\sqrt{5}$,BD = 2$\sqrt{5}$,ED = 5,
∴BE² + BD² = ED²,
∴∠EBD = 90°,在Rt△BED中,tan∠EDB = $\frac{BE}{BD}$ = $\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$ = $\frac{1}{2}$,
∴tan∠APB = tan∠EDB = $\frac{1}{2}$.故选B.
6. 「2025 安徽宣城期末」如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$BC = \sqrt{5}$，点$D$是$AC$上一点，连接$BD$。若$\tan A = \frac{1}{2}$，$\tan∠ ABD = \frac{1}{3}$，则$CD$的长是(
A
)
A.$\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$2$
D.$3\sqrt{3}$
答案：6.A 在Rt△ABC中,∠C = 90°,BC = $\sqrt{5}$,tanA = $\frac{1}{2}$,
∴AC = $\frac{BC}{\tan A}$ = $\frac{\sqrt{5}}{\frac{1}{2}}$ = 2$\sqrt{5}$,
∴AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$ = $\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{5})^{2}}$ = 5,如图,过点D作DE⊥AB于点E,
∴∠DEA = ∠DEB = 90°,
∵tanA = $\frac{1}{2}$,tan∠ABD = $\frac{1}{3}$,
∴AE = $\frac{DE}{\tan A}$ = 2DE,BE = $\frac{DE}{\tan∠ABD}$ = 3DE,
∵AE + BE = AB,即2DE + 3DE = 5,
∴DE = 1,
∴AE = 2,
∴AD = $\sqrt{DE^{2}+AE^{2}}$ = $\sqrt{1^{2}+2^{2}}$ = $\sqrt{5}$,
∴CD = AC - AD = 2$\sqrt{5}$ - $\sqrt{5}$ = $\sqrt{5}$.故选A.
7. 「2025 江苏苏州工业园区星海实验中学期中」定义：一个三角形的一边长是另一边长的$2$倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”。若等腰$△ ABC$是“倍长三角形”，则底角的余弦值为(
A
)
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{\sqrt{15}}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
答案：7.A 假设△ABC是等腰三角形,且AB = AC.
∵△ABC是“倍长三角形”,
∴有以下两种情况:①当BC = 2AB时,AB + AC = BC,此时不能构成三角形.②当AB = 2BC时,可以构成三角形.如图,过点A作BC的垂线,垂足为M.令BC = 2a,则AB = 4a,BM = $\frac{1}{2}$BC = a.在Rt△ABM中,cosB = $\frac{BM}{AB}$ = $\frac{a}{4a}$ = $\frac{1}{4}$.故选A.
8. 「2025 广东深圳模拟」如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点$P$射入，经过地板$MN$反射到天花板上形成光斑。中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为$α$，$β$。已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为$3$m，当$α = 45°$，$β = 30°$时，光斑移动的距离$AB$为(
B
)
A.$3$m
B.$(6\sqrt{3} - 6)$m
C.$(3\sqrt{3} - 3)$m
D.$6$m
答案：8.B 如图,过点C作CE⊥AB,垂足为E,过点D作DF⊥AB,垂足为F,由题意得CE = DF = 3m,△ACP和△BDP都是等腰三角形,BP//MN,
∴∠APC = ∠PCM = 45°,∠BPD = ∠PDM = 30°,在Rt△PCE中,PE = $\frac{CE}{\tan 45°}$ = 3m,
∴AP = 2PE = 6m,在Rt△PDF中,PF = $\frac{DF}{\tan 30°}$ = $\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$ = 3$\sqrt{3}$(m),
∴BP = 2PF = 6$\sqrt{3}$m,
∴AB = BP - AP = (6$\sqrt{3}$ - 6)m,
∴光斑移动的距离AB为(6$\sqrt{3}$ - 6)m.故选B.
