15. 「2025 安徽中考」下列方程中，有两个不相等的实数根的是(
D
)
A.$ x^2 + 1 = 0 $
B.$ x^2 - 2x + 1 = 0 $
C.$ x^2 + x + 1 = 0 $
D.$ x^2 + x - 1 = 0 $
答案：15. D A.$\because\Delta = 0^2 - 4×1×1 ＜ 0$，$\therefore$方程没有实数根；B.$\because\Delta = (-2)^2 - 4×1×1 = 0$，$\therefore$方程有两个相等的实数根；C.$\because\Delta = 1^2 - 4×1×1 ＜ 0$，$\therefore$方程没有实数根；D.$\because\Delta = 1^2 - 4×1×(-1) = 5 ＞ 0$，$\therefore$方程有两个不相等的实数根，符合题意，故选D。
16. 「2025 四川遂宁中考」已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 3x + m + 1 = 0 $ 有实数根，则实数 $ m $ 的取值范围是(
D
)
A.$ m ＜ \frac{5}{4} $
B.$ m ≥ \frac{5}{4} $
C.$ m ＞ \frac{5}{4} $
D.$ m ≤ \frac{5}{4} $
答案：16. D $\because$关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x + m + 1 = 0$有实数根，$\therefore\Delta = (-3)^2 - 4×1×(m + 1) = 5 - 4m ≥ 0$，解得$m ≤ \frac{5}{4}$，$\therefore$实数$m$的取值范围是$m ≤ \frac{5}{4}$。故选D。
17. 「2025 湖北中考」一元二次方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 的两个实数根为 $ x_1, x_2 $，下列结论正确的是(
D
)
A.$ x_1 + x_2 = -4 $
B.$ x_1 + x_2 = 3 $
C.$ x_1 x_2 = 4 $
D.$ x_1 x_2 = 3 $
答案：17. D $x^2 - 4x + 3 = 0$，其中$a = 1$，$b = - 4$，$c = 3$，根据一元二次方程根与系数的关系，可得$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4$，$x_1· x_2 = \frac{c}{a} = 3$。故选D。
18. 「2025 福建中考」为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为 5 米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块 6 平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示。设矩形的一边长为 $ x $ 米，根据题意可列方程为(
C
)
A.$ 5x^2 = 6 $
B.$ 5(1 + x^2) = 6 $
C.$ x(5 - x) = 6 $
D.$ 5(1 + x)^2 = 6 $
答案：18. C 由题意可得，$x(5 - x) = 6$，故选C。
19. 「2025 四川广安中考」已知方程 $ x^2 - 5x - 24 = 0 $ 的两根分别为 $ a $ 和 $ b $，则代数式 $ a^2 - 4a + b $ 的值为
29
。
答案：19. 答案 29 解析 $\because$方程$x^2 - 5x - 24 = 0$的两根分别为$a$和$b$，$\therefore a + b = 5$，$a^2 - 5a - 24 = 0$，$\therefore a^2 - 5a = 24$，$\therefore a^2 - 4a + b = a^2 - 5a + a + b = 24 + 5 = 29$。
20. 「2025 黑龙江齐齐哈尔中考」解方程：$ x^2 - 7x = -12 $。
答案：20. 解析 整理，得$x^2 - 7x + 12 = 0$，因式分解，得$(x - 4)(x - 3) = 0$，所以$x - 4 = 0$或$x - 3 = 0$，所以$x = 4$或$x = 3$。
21. 「2025 四川南充中考」设 $ x_1, x_2 $ 是关于 $ x $ 的方程 $ (x - 1)(x - 2) = m^2 $ 的两个根。
(1) 当 $ x_1 = -1 $ 时，求 $ x_2 $ 及 $ m $ 的值。
(2) 求证：$ (x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0 $。
答案：21. 解析 (1)把$x_1 = - 1$代入方程$(x - 1)(x - 2) = m^2$，得$m^2 = 6$，$\therefore m = \pm\sqrt{6}$，$(x - 1)(x - 2) = 6$，即$x^2 - 3x - 4 = 0$，解得$x_1 = - 1$，$x_2 = 4$。故$x_2 = 4$，$m = \pm\sqrt{6}$。(2)证明：方程$(x - 1)(x - 2) = m^2$可化为$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$，$\because\Delta = 4m^2 + 1 ＞ 0$，$\therefore$原方程有两个不相等的实数根。由根与系数的关系得$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 2 - m^2$，则$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = 2 - m^2 - 3 + 1 = - m^2$。$\because - m^2 ≤ 0$，$\therefore(x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0$。
22. 「2025 四川泸州中考」某超市购进甲、乙两种商品，2022 年甲、乙两种商品每件的进价均为 125 元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降 25 元，乙种商品 2024 年每件的进价为 80 元。
(1) 求乙种商品每件进价的年平均下降率。
(2) 2024 年该超市用不超过 7800 元的资金一次购进甲、乙两种商品共 100 件，求最少购进多少件甲种商品。
答案：22. 解析 (1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为$x$，根据题意得$125(1 - x)^2 = 80$，解得$x_1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = 1.8$（不符合题意，舍去）。答：乙种商品每件进价的年平均下降率为$20\%$。(2)设购进$y$件甲种商品，则购进$(100 - y)$件乙种商品，根据题意得$(125 - 25×2)y + 80(100 - y) ≤ 7800$，解得$y ≥ 40$，$\therefore y$的最小值为40。答：最少购进40件甲种商品。
23. 「2025 广西中考」有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有 $ a $ 克水，$ b $ 克水，$ a ＞ b $。都加入 $ c $ 克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是(
A
)
A.$ a + c ＞ b + c $
B.$ a + c = b + c $
C.$ a + c ＜ b + c $
D.$ a - c ＜ b - c $
答案：23. A 两个玻璃杯中都加入$c$克水后水的质量分别为$(a + c)$克，$(b + c)$克，$\because a ＞ b$，$\therefore a + c ＞ b + c$。故选A。
