10. 「2025 湖南中考」如图，在四边形
ABCD 中，对角线
AC 与
BD 互相垂直平分，
AB=3，则四边形
ABCD 的周长为(
C
)
A.6
B.9
C.12
D.18
答案：10.C $\because$对角线AC与BD互相垂直平分，$\therefore$四边形ABCD为菱形，$\because AB = 3$，$\therefore$四边形ABCD的周长为$3×4 = 12$.故选C.
11. 「2025 四川内江中考」按如下步骤作四边形 $ABCD$：(1) 画 $∠ EAF$；(2) 以点 $A$ 为圆心，1 个单位长为半径画弧，分别交 $AE$，$AF$ 于点 $B$，$D$；(3) 分别以点 $B$ 和点 $D$ 为圆心，1 个单位长为半径画弧，两弧交于点 $C$；(4) 连接 $BC$，$DC$，$BD$.若 $∠ A = 40°$，则 $∠ BDC$ 的度数是(
D
)
A.$64°$
B.$66°$
C.$68°$
D.$70°$
答案：11.D 由作图可知，$AB = AD = BC = DC$，$\therefore$四边形ABCD是菱形，$\therefore AB// CD$，$∠ BDC = ∠ ADB = \frac{1}{2}∠ ADC$，$\therefore ∠ A + ∠ ADC = 180°$. $\because ∠ A = 40°$，$\therefore ∠ ADC = 180°-∠ A = 140°$，$\therefore ∠ BDC = \frac{1}{2}∠ ADC = 70°$.故选D.
12. 「2025 四川自贡中考」如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，正方形 $ABCD$ 的边长为 5，$AB$ 边在 $y$ 轴上，$B(0,-2)$.若将正方形 $ABCD$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90°$，得到正方形 $A'B'C'D'$，则点 $D'$ 的坐标为(
A
)
A.$(-3,5)$
B.$(5,-3)$
C.$(-2,5)$
D.$(5,-2)$
答案：12.A $\because$四边形ABCD是正方形，且边长为5，$\therefore AB = BC = CD = AD = 5$，$\because$点$B(0, - 2)$，$\therefore OB = 2$，$\therefore OA = AB - OB = 3$，由旋转的性质得$OA' = OA = 3$，点$A'$落在x轴的负半轴上，$∠ D'A'B' = 90°$，$\therefore$点$D'$的坐标为$(- 3, 5)$.故选A.
1
3. 「2025 黑龙江龙东地区中考」如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，请添加一个条件：
$AC⊥ BD$(答案不唯一)
，使平行四边形 $ABCD$ 为菱形.
答案：13.答案 $AC⊥ BD$(答案不唯一)
解析 $\because$对角线互相垂直的平行四边形是菱形，$\therefore$添加条件$AC⊥ BD$，可使平行四边形ABCD为菱形.故答案为$AC⊥ BD$.(答案不唯一)
14. 「2025 四川凉山州中考」如图，四边形 $ABCD$ 是菱形，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$E$ 是边 $CD$ 的中点，过点 $E$ 作 $EF⊥ BD$ 于点 $F$，$EG⊥ AC$ 于点 $G$，若 $AC = 12$，$BD = 16$，则 $FG$ 的长为
5
.
答案：14.答案 5
解析 如图，连接OE，$\because$四边形ABCD是菱形，且$AC = 12$，$BD = 16$，$\therefore AC⊥ BD$，$OC = \frac{1}{2}AC = 6$，$OD = \frac{1}{2}BD = 8$，$\therefore ∠ COD = 90°$，在$Rt△ COD$中，由勾股定理得$CD = \sqrt{OC^{2}+OD^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$，$\because$E是边CD的中点，$\therefore OE$是$Rt△ OCD$斜边上的中线，$\therefore OE = \frac{1}{2}CD = 5$，$\because EF⊥ BD$，$EG⊥ AC$，$\therefore ∠ OGE = ∠ OFE = ∠ COD = 90°$，$\therefore$四边形OGEF是矩形，$\therefore FG = OE = 5$.
15. 「2025 四川内江中考」如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 8$，$AD = 6$，点 $E$，$F$ 分别是边 $AD$，$CD$ 上的动点，连接 $BE$，$EF$，点 $G$ 为 $BE$ 的中点，点 $H$ 为 $EF$ 的中点，连接 $GH$，则 $GH$ 的最大值是
5
.
答案：15.答案 5
解析 如图，连接BD，BF，$\because$四边形ABCD是矩形，$\therefore ∠ BAD = 90°$，$\because AB = 8$，$AD = 6$，$\therefore BD = \sqrt{AB^{2}+AD^{2}} = 10$，$\because$点G为BE的中点，点H为EF的中点，$\therefore GH$为$△ BEF$的中位线，$\therefore BF = 2GH$，$\therefore$当BF有最大值时，GH有最大值，$\because$点F是CD上的动点，$\therefore$当点F与点D重合时，BF有最大值，最大值为10，$\therefore$GH的最大值为5.
16. 「2025 北京中考」如图，在 $△ ABC$ 中，$D$，$E$ 分别为 $AB$，$AC$ 的中点，$DF⊥ BC$，垂足为 $F$，点 $G$ 在 $DE$ 的延长线上，$DG = FC$.
(1) 求证：四边形 $DFCG$ 是矩形.
(2) 若 $∠ B = 45°$，$DF = 3$，$DG = 5$，求 $BC$ 和 $AC$ 的长.
答案：16.解析 (1)证明：$\because$D，E分别为AB，AC的中点，
$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线，$\therefore DE// BC$，
$\because DG = FC$，$\therefore$四边形DFCG是平行四边形，
又$\because DF⊥ BC$，$\therefore ∠ DFC = 90°$，
$\therefore$四边形DFCG是矩形.
(2)$\because DF⊥ BC$，$\therefore ∠ DFB = 90°$，
$\because ∠ B = 45°$，$\therefore △ BDF$是等腰直角三角形，
$\therefore BF = DF = 3$，
$\because DG = FC = 5$，$\therefore BC = BF + FC = 3 + 5 = 8$.
由(1)可知，DE是$△ ABC$的中位线，四边形DFCG是矩形，
$\therefore DE = \frac{1}{2}BC = 4$，$CG = DF = 3$，$∠ G = 90°$，
$\therefore EG = DG - DE = 5 - 4 = 1$，
$\therefore CE = \sqrt{CG^{2}+EG^{2}}=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$，
$\because$E为AC的中点，$\therefore AC = 2CE = 2\sqrt{10}$.
