2026年5年中考3年模拟九年级数学下册人教版第95页解析答案——零五网—

17. 「2025 贵州中考」如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$BD$ 是对角线.
(1) 尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段 $BD$ 的垂直平分线，垂足为点 $O$，与边 $AD$，$BC$ 分别交于点 $E$，$F$(要求：不写作法，保留作图痕迹).
(2) 在 (1) 的条件下，连接 $BE$，$DF$，求证：四边形 $BFDE$ 为菱形.

答案：
17.解析　(1)如图所示.

(2)证明：如图所示，

$\because EF$垂直平分BD，
$\therefore BE = DE$，$∠ BOE = ∠ BOF = 90°$，$OB = OD$，
$\therefore ∠ EBD = ∠ EDB$，
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ EDB = ∠ CBD$，$\therefore ∠ EBO = ∠ FBO$，又$\because OB = OB$，$\therefore △ EBO≌△ FBO(ASA)$，
$\therefore OE = OF$，$\therefore$四边形BFDE是平行四边形，
又$\because BE = DE$，$\therefore$四边形BFDE是菱形.

18. 「2025 江苏扬州中考」如图，在 $□ ABCD$ 中，对角线 $AC$ 的垂直平分线与边 $AD$，$BC$ 分别相交于点 $E$，$F$，连接 $AF$，$CE$.
(1) 求证：四边形 $AFCE$ 是菱形.
(2) 若 $AB = 3$，$BC = 5$，$CE$ 平分 $∠ ACD$，求 $DE$ 的长.

答案：18.解析　(1)证明：$\because EF$垂直平分AC，
$\therefore EA = EC$，$FA = FC$，$OA = OC$，$∠ AOE = ∠ COF = 90°$，
$\because$四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$\therefore ∠ OAE = ∠ OCF$，
在$△ OAE$和$△ OCF$中，$\begin{cases} ∠ AOE = ∠ COF \\ OA = OC \\ ∠ OAE = ∠ OCF \end{cases}$，
$\therefore △ OAE≌△ OCF(ASA)$，
$\therefore EA = FC$，$\therefore EA = EC = FC = FA$，
$\therefore$四边形AFCE是菱形.
(2)$\because$四边形ABCD是平行四边形，$AB = 3$，
$\therefore CD = AB = 3$，$∠ D = ∠ B$，
$\because$四边形AFCE是菱形，$\therefore ∠ ACB = ∠ ACE$，
$\because CE$平分$∠ ACD$，$\therefore ∠ DCE = ∠ ACE = ∠ BCA$，
$\therefore △ CDE∼△ CBA$，
$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{CD}{BC}$，即$\frac{DE}{3}=\frac{3}{5}$，$\therefore DE = \frac{9}{5}$.

19. 「2025 甘肃中考」四边形 $ABCD$ 是正方形，点 $E$ 是边 $AD$ 上一动点(点 $D$ 除外)，$△ EFG$ 是直角三角形，$EG = EF$，点 $G$ 在 $CD$ 的延长线上.
(1) 如图 1，当点 $E$ 与点 $A$ 重合，且点 $F$ 在边 $BC$ 上时，写出 $BF$ 和 $DG$ 的数量关系，并说明理由.
(2) 如图 2，当点 $E$ 与点 $A$ 不重合，且点 $F$ 在正方形 $ABCD$ 内部时，$FE$ 的延长线与 $BA$ 的延长线交于点 $P$，如果 $EF = EP$，写出 $AE$ 和 $DG$ 的数量关系，并说明理由.
(3) 如图 3，在 (2) 的条件下，连接 $BF$，写出 $BF$ 和 $DG$ 的数量关系，并说明理由.

答案：
19.解析　(1)$BF = DG$.理由如下：
$\because$四边形ABCD是正方形，
$\therefore AB = AD$，$∠ ABC = ∠ CDA = 90°$，
$\therefore ∠ FBA = ∠ GDA = 90°$.
$\because EF = EG$，点E与点A重合，$\therefore AF = AG$，
$\therefore Rt△ FBA≌ Rt△ GDA(HL)$，$\therefore BF = DG$.
(2)$AE = DG$.理由如下：
$\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore ∠ DAB = ∠ CDA = 90°$，$\therefore ∠ EAP = ∠ GDE = 90°$.
$\because △ EFG$是直角三角形，
$\therefore ∠ GEF = 90°$，$\therefore ∠ GEP = 90°$，
$\therefore ∠ AEP + ∠ GED = ∠ DGE + ∠ GED = 90°$，
$\therefore ∠ AEP = ∠ DGE$.
$\because EP = EF$，$EF = EG$，$\therefore EP = GE$，
$\therefore △ EAP≌△ GDE(AAS)$，$\therefore AE = DG$.
(3)$BF = \sqrt{5}DG$.理由如下：
如图，过点F作$FH⊥ AB$于点H，

$\because EA⊥ AB$，$\therefore EA// FH$，$\therefore \frac{PE}{EF}=\frac{PA}{AH}$.
$\because PE = EF$，$\therefore PA = AH$，
$\therefore EA$是$△ PFH$的中位线，$\therefore FH = 2EA = 2DG$.
由(2)知，$△ EAP≌△ GDE$，$\therefore AP = DE$，$\therefore DE = AH$，
又$\because AD = AB$，$\therefore AD - DE = AB - AH$，$\therefore EA = HB = DG$，$\therefore$在$Rt△ FHB$中，$BF = \sqrt{FH^{2}+HB^{2}}=\sqrt{(2DG)^{2}+DG^{2}}=\sqrt{5}DG$，即$BF = \sqrt{5}DG$.