17. 「2025 江苏连云港中考」已知 AD 是△ABC 的高，⊙O 是△ABC 的外接圆。
(1) 请你在图 1 中用无刻度的直尺和圆规，作△ABC 的外接圆(保留作图痕迹，不写作法)。
(2) 如图 2，若⊙O 的半径为 R，求证：R = $\dfrac{
AC·
AB}{2AD}$。
(3) 如图 3，延长 AD 交⊙O 于点 E，连接 CE，过点 E 的切线交 OC 的延长线于点 F，若 BC = 7，AD = 3$\sqrt{3}$，∠ACB = 60°，求 CF 的长。
答案：17. 解析 (1)如图所示,$\odot O$即为所求.
(2)证明:如图,作$\odot O$的直径AM,连接BM,
$\therefore ∠ABM=90^{\circ },AM=2R$,$\because AD$是$△ABC$的高,$\therefore ∠ADC=90^{\circ }$,$\because ∠ACB=∠AMB,\therefore △ABM∽ △ADC$,$\therefore \frac {AB}{AD}=\frac {AM}{AC}$,即$\frac {AB}{AD}=\frac {2R}{AC},\therefore R=\frac {AC· AB}{2AD}$.
(3)如图,连接OE,
$\because EF$为$\odot O$的切线,OE为$\odot O$的半径,$\therefore ∠OEF=90^{\circ }$,$\because ∠ACB=60^{\circ },∠ADC=90^{\circ },\therefore ∠DAC=30^{\circ }$,$\therefore ∠EOC=2∠DAC=60^{\circ },\therefore ∠F=30^{\circ }$,$\because OE=OC$,$\therefore △OEC$是等边三角形,$∠OEC=∠OCE=60^{\circ }$,$\therefore CE=OE,∠CEF=∠OEF-∠OEC=30^{\circ }$,$\therefore ∠CEF=∠F,\therefore CE=CF$.在$Rt△ADC$中,$AD=3\sqrt {3},∠ACB=60^{\circ }$,$\therefore tan60^{\circ }=\frac {AD}{CD}=\frac {3\sqrt {3}}{CD}=\sqrt {3}$,$\therefore CD=3,\therefore BD=BC-CD=7-3=4$,在$Rt△ACD$中,$AC=\sqrt {AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt {(3\sqrt {3})^{2}+3^{2}}=6$,在$Rt△ABD$中,$AB=\sqrt {AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt {(3\sqrt {3})^{2}+4^{2}}=\sqrt {43}$,由(2)得$OE=\frac {AB· AC}{2AD}=\frac {\sqrt {43}×6}{2×3\sqrt {3}}=\frac {\sqrt {129}}{3}$,$\therefore CF=CE=OE=\frac {\sqrt {129}}{3}$.
