探究与拓展二
探究平方差公式
方法探究
“观察—猜想—验证—应用”是我们常用的数学探究方法。
同学们，在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？小欣想出了两种不同的方法(如图)。(单位:厘米)
这两种方法都是求的阴影部分的面积,因此$5^{2}-3^{2}=(5-3)×(5+3)$。
仔细观察上面这个等式,想一想:是不是任意两个数都具有这样的特征呢?
(1)请举4个例子验证:
$10^{2}-6^{2}=\_\_\_\_\_×$
(2)如果用$a$和$b$表示两个数(且$a＞b$),这样的规律可以表示为:
$a^{2}-b^{2}=\_\_\_\_\_\_×$
上面用字母表示的式子就是我们到初中后要学习的平方差公式。
答案：(1)$(10-6)$ $(10+6)$$6^{2}-4^{2}=(6-4)×(6+4)$$7^{2}-5^{2}=(7-5)×(7+5)$$15^{2}-13^{2}=(15-13)×(15+13)$(后三个式子答案不唯一)(2)$(a+b)$ $(a-b)$
1. 计算图中圆环的面积,尝试应用上面得到的规律进行简算。(单位:cm)
答案：1. $3.14×(4.25^{2}-3.25^{2})=3.14×[(4.25-3.25)×(4.25+3.25)]=3.14×[1×7.5]=23.55(cm^{2})$
答:图中圆环的面积是$23.55cm^{2}$。
2. 根据以上结论计算:$[1-(\frac{1}{2})^{2}]×[1-(\frac{1}{3})^{2}]×[1-(\frac{1}{4})^{2}]=$( )。
答案：2. $\frac {5}{8}$
3. 尝试利用这个公式,解决这个数学问题。如图所示,边长分别为1、2、3、4……2025、2026的正方形叠放在一起,则图中阴影部分的面积是多少?
答案：3. $(2026^{2}-2025^{2})+(2024^{2}-2023^{2})+... +(2^{2}-1^{2})=2026+2025+2024+2023+... +2+1=(1+2026)×2026÷2=2053351$
答:图中阴影部分的面积是2053351。
