5. (2025·昌平区期中)如图,已知 $AD// BC$,$∠ BAD$ 的平分线交 $CD$ 于点 $F$,交 $BC$ 的延长线于点 $E$,$∠ CFE=∠ E$. 求证:$∠ B+∠ BCD=180°$.
答案：5. 证明:
∵AD//BC,
∴∠DAE=∠E.
∵AE平分∠BAD,
∴∠DAE=∠BAE,
∴∠BAE=∠E.
∵∠CFE=∠E,
∴∠CFE=∠BAE,
∴AB//CD,
∴∠B+∠BCD=180°.
6. (2024·怀柔区期末)完成下面的证明:
如图,$AB// CD$,$∠ 1=∠ 2$,$∠ 3=∠ 4$,求证:$AC// BD$.
证明:$\because ∠ 1=∠ 2$(已知),
$\therefore ∠ 1+∠ CBP=∠ 2+∠$
$\_\_\_\_\_\_$(等式的性质),
即$∠ ABC=∠$
$\_\_\_\_\_\_$.
$\because AB// CD$(已知),
$\therefore ∠ \_\_\_\_\_\_=∠ ABC$(两直线平行,内错角相等).
$\because ∠ 3=∠ 4$(已知),
$\therefore ∠ 3=∠$
$\_\_\_\_\_\_$(等量代换),
$\therefore \_\_\_\_\_\_$(同位角相等,两直线平行).
答案：6. CBP PBD 4 PBD AC//BD
7. (2024·大兴区期末)如图①,已知 $AB// CD$,$∠ BGH=∠ EFC$,点 $P$ 为直线 $CD$ 上一动点.
(1)求证:$EF// GH$.
(2)作射线 $HM$ 交直线 $CD$ 于点 $M$,交直线 $EF$ 于点 $N$,且$∠ GHM=∠ PHM$.
①当点 $P$ 运动到如图②所示的位置时,用等式表示$∠ 1$,$∠ 2$与$∠ 3$之间的数量关系,并证明;
②当点 $P$ 运动到如图③所示的位置时,补全图形,直接用等式写出$∠ HPD$,$∠ MFE$与$∠ ENM$之间的数量关系.
答案：7. (1)证明:
∵AB//CD,
∴∠BEF=∠EFC.
∵∠BGH=∠EFC,
∴∠BGH=∠BEF,
∴GH//EF.
(2)解:①结论:∠3=2∠1−∠2.
证明:
∵EF//GH,
∴∠1=∠GHM,
∵∠GHM=∠PHM,
∴∠PHM=∠1.
∵∠HPM=180°−∠3=180°−∠PHM−∠HMP,
∴∠3=∠PHM+∠HMP.
∵∠FNM=180°−∠1=180°−∠2−∠HMP,
∴∠HMP=∠1−∠2,
∴∠3=∠1+∠1−∠2=2∠1−∠2.
②补全图形如图图.
结论:∠HPD=180°+∠MFE−2∠ENM.
