8. (2024·山东)任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次运算后,必进入循环圈$1→4→2→1$,这就是"冰雹猜想".在平面直角坐标系xOy中,将点$(x,y)$中的x,y分别按照"冰雹猜想"同步进行运算得到新的点的横、纵坐标,其中x,y均为正整数.例如,点$(6,3)$经过第1次运算得到点$(3,10)$,经过第2次运算得到点$(10,5)$,以此类推,则点$(1,4)$经过2024次运算后得到点
$(2,1)$
.
答案：8.$(2,1)$
三、解答题
9. (2024·启东期中)已知点$M(m+3,2m-1)$,将点M向上平移4个单位长度得到点N.
(1)若点N的纵坐标比横坐标大3,求点M的坐标;
(2)若点M到x轴的距离为2,且在第四象限,求点N的坐标.
答案：9.解:(1)$\because$点$M(m+3,2m-1)$,
$\therefore$将点$M$向上平移4个单位长度得到点$N$的坐标为
$(m+3,2m+3)$.
$\because$点$N$的纵坐标比横坐标大3,
$\therefore 2m+3-(m+3)=3$,解得$m=3$,
$\therefore$点$M$的坐标为$(6,5)$.
(2)$\because$点$M$到$x$轴的距离为2,且在第四象限,
$\therefore 2m-1=-2$,$\therefore m=-\dfrac{1}{2}$,
$\therefore$点$N$的坐标为$(\dfrac{5}{2},2)$.
10. (2024·崇川区期末)平面直角坐标系xOy中,有点$P(a,b)$,实数a,b,m满足以下两个等式:$2a-3m+1=0,3b-2m-16=0.$
(1)当$a=1$时,点P到x轴的距离为
6
;
(2)若点P落在x轴上,点P平移后的对应点为$P'(a+15,b+4)$,求点P和点$P'$的坐标;
(3)当$a≤ 4＜ b$时,求m的最小整数值.
答案：10.(1)6
(2)解:$\because$点$P$落在$x$轴上,$\therefore b=0$,
$\therefore -2m-16=0$,$\therefore m=-8$.
把$m=-8$代入$2a-3m+1=0$,得$2a+24+1=0$,
$\therefore a=-\dfrac{25}{2}$,$\therefore P(-\dfrac{25}{2},0)$,$P'(\dfrac{5}{2},4)$.
(3)解:$\because 2a-3m+1=0$,$3b-2m-16=0$,
$\therefore a=\dfrac{3m-1}{2}$,$b=\dfrac{2m+16}{3}$.
$\because a≤ 4 ＜ b$,$\therefore \dfrac{3m-1}{2}≤ 4 ＜ \dfrac{2m+16}{3}$,解得$-2 ＜ m≤ 3$,
$\therefore m$的最小整数值为$-1$.
11. 在平面直角坐标系中,对于任意三点A,B,C的"矩面积",给出如下定义:"水平底"a为任意两点横坐标差的最大值,"铅垂高"h为任意两点纵坐标差的最大值,则"矩面积"$S=ah$.
例如:三点坐标分别为$A(1,2),B(-3,1),C(2,-2)$,则"水平底"$a=5$,"铅垂高"$h=4$,"矩面积"$S=ah=20$.
(1)已知点$A(1,2),B(-3,1),P(0,t).$
①若A,B,P三点的"矩面积"为12,求点P的坐标;
②求A,B,P三点的"矩面积"的最小值.
(2)已知点$E(4,0),F(0,2),M(m,4m)$,其中$m＞0$.若E,F,M三点的"矩面积"为8,求m的取值范围.
答案：11.解:(1)①由题意得$a=1-(-3)=4$,
当$t ＞ 2$时,$h=t-1$,则$4(t-1)=12$,解得$t=4$,故点$P$的坐标为$(0,4)$;
当$t ＜ 1$时,$h=2-t$,则$4(2-t)=12$,解得$t=-1$,故点$P$的坐标为$(0,-1)$;
当$1 ＜ t ＜ 2$时,$h=1$,此时$S=4$,不符合题意,舍去.
综上所述,点$P$的坐标为$(0,4)$或$(0,-1)$.
②由题意得$h$的最小值为1,
$\therefore A$,$B$,$P$三点的"矩面积"的最小值为4.
(2)当$m≥ 4$时,$a=m$,$h=4m$,
此时$S=m× 4m=4m^{2}=8$,
解得$m=\pm\sqrt{2}$,均不符合题意,舍去;
当$\dfrac{1}{2} ＜ m ＜ 4$时,$a=4$,$h=4m$,
此时$S=16m=8$,解得$m=\dfrac{1}{2}$,不符合题意,舍去;
当$0 ＜ m≤ \dfrac{1}{2}$时,$a=4$,$h=2$,此时$S=4× 2=8$,符合题意.
综上所述,$m$的取值范围为$0 ＜ m≤ \dfrac{1}{2}$.
