6. (2025春·沈阳期中)如图,已知$AB// CF$,$AB⊥ BD$于点B,$∠ 1+∠ 3=180°$.有下列结论:①$∠ 2=∠ 3$;②$∠ 4=∠ AFD$;③$AF// CE$;④$∠ D=∠ DCE$;⑤$∠ FCD=90°$;⑥$∠ 4=∠ 2+∠ 3$;⑦若$∠ 1=120°$,则$∠ ECD=30°$.其中正确的结论有
①②③⑤⑦
.(填序号)
答案：6. ①②③⑤⑦
7. (2025春·滨州期中)如图,$∠ A=∠ 1$,$∠ C=∠ F$,BM平分$∠ CBD$,EN平分$∠ FEH$.求证:$∠ 2=∠ 3$.
请完善下面的证明过程.
证明:$\because ∠ A=∠ 1$(已知),
$\therefore AC// GF$(
内错角相等,两直线平行
),
$\therefore$
∠C=∠G
(
两直线平行,内错角相等
).
又$\because ∠ C=∠ F$(已知),$\therefore ∠ F=∠ G$(等量代换),
$\therefore$
CG//EF
(内错角相等,两直线平行),
$\therefore$
∠CBD=∠FEH
(
两直线平行,同位角相等
).
$\because$ BM平分$∠ CBD$,EN平分$∠ FEH$(已知),
$\therefore ∠ 2=$
$\frac{1}{2}∠CBD$
,$∠ 3=$
$\frac{1}{2}∠FEH$
(
角平分线
的定义),
$\therefore ∠ 2=∠ 3$(等量代换).
答案：7. 内错角相等,两直线平行 ∠C=∠G 两直线平行,内错
角相等 CG//EF ∠CBD=∠FEH 两直线平行,同
位角相等 $\frac{1}{2}∠CBD$ $\frac{1}{2}∠FEH$ 角平分线
8. (2025春·海淀区期中)如图,已知$AB// CD$,射线DN与AB交于点M,点E在直线AB上,点F在射线DC上,连接EF,DE,$∠ EFD=∠ BMN$.
(1)求证:$EF// DN$;
(2)若EF平分$∠ AED$,$∠ EDC=50°$,求$∠ AMN$的度数.
答案：8. (1)证明:
∵AB//CD,
∴∠AEF=∠EFD,
∵∠EFD=∠BMN=∠EMD,
∴∠AEF=∠EMD,
∴EF//DN.
(2)解:
∵AB//CD,∠EDC=50°,
∴∠DEM=∠EDC=50°,
∴∠AED=180°−∠DEM=130°.
∵EF平分∠AED,
∴∠DEF=$\frac{1}{2}∠AED$=65°,
∴∠FEM=∠DEF+∠DEM=65°+50°=115°.
∵EF//DN,
∴∠AMN=∠FEM=115°.
9. (2024秋·靖江期末)如图①,点F在线段AB上,点E在线段CD上,$∠ 1+∠ 2=180°$,$∠ A=∠ D$.
(1)求证:$AB// CD$;
(2)延长AB到点M,在$∠ MBC$和$∠ BCD$的内部有一点P,连接BP,CP,如图②,若$∠ CBP=3∠ MBP$,$∠ BCP=3∠ DCP$,求$∠ BPC$的度数.
答案：9. (1)证明:如答图.
∵∠2+∠3=180°,∠1+∠2=180°,
∴∠1=∠3,
∴AE//DF,
∴∠A=∠BFD.
∵∠A=∠D,
∴∠D=∠BFD,
∴AB//CD.
(2)解:
∵AM//CD,
∴∠MBC+∠DCB=180°.
∵∠CBP=3∠MBP,∠BCP=3∠DCP,
∴∠CBP=$\frac{3}{4}∠MBC$,∠BCP=$\frac{3}{4}∠DCB$,
∴∠CBP+∠BCP=$\frac{3}{4}∠MBC+\frac{3}{4}∠DCB$=135°,
∴∠BPC=180°−(∠CBP+∠BCP)=45°.
