1. 如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分$∠ AOC$,$OF⊥ OE$.若$∠ BOD=40°$,则
$∠ DOF=$
70
$°$.
答案：1. 70
2. (2024·苏州期末)如图,直线AB,CD相交于点O,$OE⊥ AB$,垂足为O,
$∠ BOC=130°$.
(1)求$∠ DOE$的度数;
(2)若OF平分$∠ AOD$,求$∠ EOF$的度数.
答案：2.解:(1)
∵∠BOC=130°,
∴∠AOD=∠BOC=130°.
∵OE⊥AB,
∴∠AOE=90°,
∴∠DOE=∠AOD-∠AOE=130°-90°=40°.
(2)
∵OF平分∠AOD,
∴∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOD=65°,
∴∠EOF=∠AOE-∠AOF=90°-65°=25°.
3. (2024·邗江区期末)如图,直线AB,CD相交于点O,$OM⊥ AB$.
(1)若$∠ 1=∠ 2$,判断ON与CD的位置关系,并说明理由;
(2)若$∠ 1=\frac{1}{4}∠ BOC$,求$∠ BOD$的度数.
答案：3.解:(1)ON⊥CD.理由如下:
∵OM⊥AB,
∴∠AOM=∠BOM=90°,
∴∠1+∠AOC=90°.
∵∠1=∠2,
∴∠2+∠AOC=90°,
即∠CON=90°,
∴ON⊥CD.
(2)
∵∠1=$\frac{1}{4}$∠BOC,∠1+∠BOM=∠BOC,
∴∠BOM=3∠1.
∵∠BOM=90°,
∴∠1=30°,
∴∠AOC=90°-30°=60°,
∴∠BOD=∠AOC=60°.
4. (长沙期中)如图,已知直线AB,CD相交于点O,OE,OF为射线,OE平分$∠ AOC$.
(1)若$∠ AOE=25°$,求$∠ BOD$的度数;
(2)若$∠ AOE=α$,且$∠ DOF-∠ AOE=90°$,试说明$OF⊥ OE$.
答案：4.解:(1)
∵OE平分∠AOC,∠AOE=25°,
∴∠AOC=2∠AOE=2×25°=50°,
∴∠BOD=∠AOC=50°.
(2)
∵OE平分∠AOC,
∴∠EOC=∠AOE=α.
∵∠DOF-∠AOE=90°,
∴∠DOF=∠AOE+90°=α+90°,
∴∠COF=180°-∠DOF=180°-(α+90°)=90°-α,
∴∠EOF=∠COF+∠COE=90°-α+α=90°,
∴OF⊥OE.
