1. 下列各式:$\sqrt{x}$,$\sqrt{5}$,$\sqrt{-4}$,$\sqrt{a^{2}+1}$,$\sqrt[3]{8}$,其中一定是二次根式的有 (
B
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：1. B
2. (2025·连云港)若$\sqrt{x+1}$在实数范围内有意义,则x的取值范围是 (
D
)
A.$x≤ 1$
B.$x≥ 1$
C.$x≤ -1$
D.$x≥ -1$
答案：2. D
3. 当字母a为怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?
(1)$\sqrt{a+1}$; (2)$\sqrt{1-10a}$; (3)$\sqrt{\dfrac{1}{1-2a}}$; (4)$\sqrt{(a-1)^{2}}$.
答案：3.解:(1)当$a+1≥0$时,$\sqrt{a+1}$有意义,即当$a≥-1$时,
$\sqrt{a+1}$有意义.
(2)要使$\sqrt{1-10a}$有意义,必须$1-10a≥0$,即当$a≤\frac{1}{10}$
时,$\sqrt{1-10a}$有意义.
(3)要使$\sqrt{\frac{1}{1-2a}}$有意义,必须$\frac{1}{1-2a}≥0$,且$1-2a≠0$,即
当$a＜\frac{1}{2}$时,$\sqrt{\frac{1}{1-2a}}$有意义.
(4)要使$\sqrt{(a-1)^2}$有意义,必须$(a-1)^2≥0$,即当$a$为任
意实数时,$\sqrt{(a-1)^2}$有意义.
4. (2025·齐齐哈尔)若代数式$\dfrac{x}{\sqrt{x-3}}+(x-2025)^{0}$有意义,则实数x的取值范围是
$x＞3$且$x≠2025$
.
答案：4. $x＞3$且$x≠2025$
5. 当$a=$
$-\frac{1}{2}$
时,代数式$1-\sqrt{2a+1}$有最大值,该最大值是
1
.
答案：5. $-\frac{1}{2}$ 1
6. (2025·长沙期末)先化简,再求值:$(\dfrac{y^{2}}{x}+x-2y)÷ \dfrac{x^{2}-y^{2}}{x}$,其中x,y满足等式$y=\sqrt{x-1}+$$\sqrt{1-x}+2$.
答案：6. 解:原式$=\frac{y^2+x^2-2xy}{x}÷\frac{x^2-y^2}{x}=\frac{(x-y)^2}{x}·$
$\frac{x}{(x+y)(x-y)}=\frac{x-y}{x+y}$,
$\because y=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}+2$,$\therefore\begin{cases}x-1≥0,\\1-x≥0\end{cases}$解得$x=1$.
$\therefore y=2$.
当$x=1$,$y=2$时,原式$=\frac{1-2}{1+2}=-\frac{1}{3}$.
7. (2025·深圳期中)已知$\sqrt{a-3}+\sqrt{3-a}=0$,$3b-4$的立方根是2,c是$\sqrt{6}$的整数部分.
(1)求a,b,c的值;
(2)求$a+6b-c$的平方根.
答案：7.(1)$\because\sqrt{a-3}+\sqrt{3-a}=0$,$\therefore a-3≥0$,$3-a≥0$,则
$a=3$.
$\because3b-4$的立方根是2,$\therefore3b-4=8$.$\therefore b=4$.
$\because4＜6＜9$,$\therefore2＜\sqrt{6}＜3$.$\therefore c=2$.
综上,$a=3$,$b=4$,$c=2$.
(2)$\because a=3$,$b=4$,$c=2$,$\therefore a+6b-c=3+6×4-2=25$.
$\because25$的平方根为$\pm5$,$\therefore a+6b-c$的平方根为$\pm5$.
