10. (2025·福州期末)如图①,在长方形ABCD中,宽$AB=4$,点P沿着长方形ABCD的四边按$B\to C\to D\to A$方向运动,开始以每秒m个单位长度匀速运动,a秒后变为每秒2个单位长度匀速运动,b秒后恢复原速匀速运动,在运动过程中,$△ ABP$的面积S与运动时间t的关系如图②所示.
(1)长方形的长$AD=$
6
,宽$CD=$
4
;
(2)直接写出$m=$
1
,$a=$
4
,$b=$
9
;
(3)当点P运动到BC的中点时,有一动点Q从点C出发,以每秒1个单位长度的速度沿$C\to D\to A$运动,当一个点到达终点时,另一个点也停止运动,设点Q运动的时间为x秒,$△ BPQ$的面积为y,求当$0≤ x≤ 4$时,y与x之间的函数关系式.
答案：10. (1)6 4
(2)1 4 9
(3)解:当$0≤ x≤1$时,如答图①,点P在BC上,$BP=3+x$,
$\therefore y=\frac{1}{2}BP· CQ=\frac{1}{2}(3+x)x=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x;$
当$1＜ x≤2$时,如答图②,点P在BC上,$BP=3+1+2(x-1)=2+2x$,
$\therefore y=\frac{1}{2}BP· CQ=\frac{1}{2}(2+2x)x=x^{2}+x;$
当$2＜ x≤4$时,如答图③,点P在CD上,$PQ=x-2(x-2)=4-x$,
$\therefore y=\frac{1}{2}BC· PQ=\frac{1}{2}×6×(4-x)=12-3x.$
综上,y与x之间的函数关系式为
$y=\begin{cases}\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x(0≤ x≤1),\\x^{2}+x(1＜ x≤2),\\12-3x(2＜ x≤4).\end{cases}$
第10题答图
