8. 吴老师在与同学进行"蚂蚁怎样爬最近"的课题研究时,设计了以下三个问题,请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程.
(1)如图①,正方体的棱长为5 cm,一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点$C_{1}$处;
(2)如图②,长方体的底面是边长为5 cm的正方形,高为6 cm,一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表面爬到点$C_{1}$处;
(3)如图③是底面周长为10 cm,高为5 cm的圆柱,一只蚂蚁欲从圆柱底面上的点A沿圆柱表面爬到点C处.
模型积累
共边直角三角形模型
|图形||
| ---- | ---- | ---- |
|条件|$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$|$△ ABC$中,$AD⊥ BC$|$∠ A=∠ DBC=90°$|
|结论|$AB^{2}-AC^{2}=DB^{2}-DC^{2}$|$AB^{2}-BD^{2}=AC^{2}-DC^{2}$|$AB^{2}+AD^{2}=DC^{2}-BC^{2}$|
答案：8.解:(1)如图答①,沿$A_{1}B_{1}$展开,$AC_{1}=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}_{1}}=$
$\sqrt{5^{2}+(5+5)^{2}}=5\sqrt{5}$(cm).
$\therefore$蚂蚁需要爬行的最短路程为$5\sqrt{5}$ cm.
第8题答图①
(2)分三种情况:
①如图答②,沿$BB_{1}$展开,$AC_{1}=\sqrt{(5+5)^{2}+6^{2}}=$
$2\sqrt{34}$(cm).
第8题答图
②如图答③,沿$A_{1}B_{1}$展开,$AC_{1}=\sqrt{(6+5)^{2}+5^{2}}=$
$\sqrt{146}$(cm).
③如图答④,沿$A_{1}D_{1}$展开,$AC_{1}=\sqrt{(6+5)^{2}+5^{2}}=$
$\sqrt{146}$(cm).
$\because \sqrt{146}＞2\sqrt{34}$,
$\therefore$蚂蚁需要爬行的最短路程为$2\sqrt{34}$ cm.
(3)如图答⑤,将圆柱的侧面展开,BC为底面周长的一半.
第8题答图⑤
$\because$底面周长为10 cm,$\therefore BC=5$ cm,
$\therefore AC=\sqrt{AB^{2}+CB^{2}}=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=5\sqrt{2}$(cm),
$\therefore$蚂蚁需要爬行的最短路程为$5\sqrt{2}$ cm.
