1. 如图，$△ ABC$中，$AB=AC=6$，$AE⊥ AC$，$DE$垂直平分$AB$于点$D$，$BC=6\sqrt{3}$，则$EC$的长为 (
B
)
A.$2\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$
答案：1.B
2. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ BAC$的平分线交$BC$于点$D$，$DE// AB$，交$AC$于点$E$，$DF⊥ AB$于点$F$，$DE=5$，$DF=3$，则下列结论错误的是 (
A
)
A.$BF=1$
B.$DC=3$
C.$AE=5$
D.$AC=9$
答案：2.A
3. (2025·安徽)如图，在$△ ABC$中，$∠ A=120°$，$AB=AC$，边$AC$的中点为$D$，边$BC$上的点$E$满足$ED⊥ AC$. 若$DE=\sqrt{3}$，则$AC$的长是 (
B
)
A.$4\sqrt{3}$
B.$6$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3$
答案：3.B
4. 如图，$△ ABC$中，$AC=\sqrt{2}$，$∠ C=45°$，$∠ BAC=105°$，求$BC$的长.
答案：4.解:作AD⊥BC于点D,则∠ADC=∠ADB=90°.
∵AC=$\sqrt{2}$,∠C=45°,
∴∠CAD=45°,
∴∠CAD=∠C=45°,
∴AD=DC.
∵AC=$\sqrt{2}$,∠ADC=90°,
∴由勾股定理可得AD=DC=1.
∵∠CAD=45°,∠BAC=105°,∠ADB=90°,
∴∠DAB=60°,
∴∠B=30°.
∵AD=1,
∴AB=2,根据勾股定理得BD=$\sqrt{3}$,
∴BC=BD+DC=$\sqrt{3}$+1.
5. (2025·西城区期中)如图是由4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25. 若用$x$，$y$表示直角三角形的两条直角边$(x＞y)$，请观察图案，下列式子不正确的是 (
C
)
A.$x-y=5$
B.$x^{2}+y^{2}=81$
C.$x+y=12$
D.$xy=28$
答案：5.C
6. (2025·建邺区期中)如图，一支长为15 cm的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒同一顶点处的三边长度依次为3 cm，4 cm，12 cm，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度$x$(单位:cm)的取值范围是
$2≤ x≤ 3$
.
答案：6.$2≤ x≤ 3$
7. (2025·东营)如图，正方形$ABCD$的边长为2，其面积标记为$S_{1}$，以$CD$为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为$S_{2}$……按照此规律继续下去，则$S_{2025}$的值为
$\frac{1}{2^{2022}}$
.
答案：7.$\frac{1}{2^{2022}}$
