6. 如图,在长方形纸片$ABCD$中,$AB=4$,$BC=6$,点$E$在$AB$边上,将纸片沿$CE$折叠,点$B$落在点$F$处,$EF$,$CF$分别交$AD$于点$G$,$H$,且$EG=GH$,则$AE$的长为
1
。
答案：6. 1
7. (2025·徐州期中)如图,点$E$在长方形纸片$ABCD$的边$AD$上,已知$AD=6$,$AB=3$,折叠长方形$ABCD$,使点$D$与点$B$重合,折痕为$EF$.
(1)求证:$BE=BF$;
(2)求折叠后$DE$的长.
答案：7.(1)证明:在长方形ABCD中,AD//BC,
∴∠DEF=∠BFE.
由折叠知∠DEF=∠BEF,
∴∠BFE=∠BEF.
∴BE=BF.
(2)解:设DE=BE=x,则AE=6−x,
在Rt△ABE中,由勾股定理,得$BE^{2}=AB^{2}+AE^{2}$,
∴$x^{2}=3^{2}+(6-x)^{2}$,解得$x=\frac{15}{4}$.
∴DE的长为$\frac{15}{4}$.
8. 如图,把长方形$ABCD$沿对角线$BD$折叠,使点$C$落在点$E$处,$BE$交$AD$于点$F$.
(1)请证明点$F$在线段$BD$的垂直平分线上;
(2)若$BD^{2}=24$,$DF=3$,求$AD$的长.
答案：8.(1)证明:
∵四边形ABCD是长方形,
∴AD//BC,
∴∠FDB=∠DBC.
由折叠得∠FBD=∠DBC,
∴∠FDB=∠FBD,
∴BF=DF,
∴点F在线段BD的垂直平分线上.
(2)解:设AD=x.
由(1)知BF=DF=3,
∴AF=x−3,
∵∠A=90°,
∴$AB^{2}=BF^{2}-AF^{2}=3^{2}-(x-3)^{2}=-x^{2}+6x$.
∵$AB^{2}+AD^{2}=BD^{2}$,且$BD^{2}=24$,
∴$-x^{2}+6x+x^{2}=24$,解得x=4,
∴AD的长为4.
9. 如图,折叠长方形$ABCD$,使点$D$落在$BC$边上的点$F$处.若$BC=10\ \mathrm{cm}$,$AB=8\ \mathrm{cm}$.
(1)求$BF$的长;
(2)求$EC$的长.
答案：9.解:(1)
∵四边形ABCD为长方形,
∴AD=BC=10 cm,CD=AB=8 cm,
∠C=∠D=∠B=90°,
根据折叠可知,AF=AD=10 cm.
在Rt△ABF中,根据勾股定理可得
$BF=\sqrt{AF^{2}-AB^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6(cm)$.
(2)FC=BC−BF=10−6=4(cm).
设EF=x cm,则DE=EF=x cm,EC=(8−x)cm,
在Rt△EFC中,由勾股定理得$FC^{2}+EC^{2}=EF^{2}$,
即$4^{2}+(8-x)^{2}=x^{2}$,解得x=5,
∴EC=8−5=3(cm).
